地基上梁和板是地基上满足边界条件的梁和板。

正文

为了计算地基上连续结构（地坪、路面、跑道、船坞、隧道、涵管衬砌等）、连续基础（条形基础、片筏基础、箱形基础）及桩等的变形和内力，通常把上述结构视为置于地基上满足一定边界条件的梁和板，并称为地基上梁和板（图1）。若将地基视为弹性体，即为弹性地基上梁和板。弹性地基上梁和板的计算方法已在工程结构计算中广泛应用。这些方法是根据结构、地基与基础的相互作用原理，对地基基础设计计算所做的一种简化计算方法。主要是求解在荷载作用下，地基与基础的接触反力（简称地基反力）的大小和分布，然后据以计算梁中弯矩、剪力和竖向位移。求解地基反力的基本途径是以地基反力为未知数，建立梁或板挠曲变形方程和静力平衡方程。

梁挠曲变形方程：

(1)

式中ωx为梁中性轴沿x轴方向的挠曲变形；qa2x为梁上沿x轴方向单位长度上的竖向荷载分布；px为沿x轴方向单位长度上分布的地基反力；EI为梁的抗弯刚度（其中E为梁的弹性模量，I为截面惯性矩）。板挠曲变形方程：

(2)

式中ω(x，y)为板中性面在x、y坐标系中挠曲变形;D为板的抗弯刚度,D=Eh3/12(1-μ2)；h为板厚度;μ为泊松比；q(x，y)、p(x,y)分别为x、y坐标系中单位面积上的竖向荷载与地基反力分布；。

地基竖向位移方程的建立，取决于地基土层中的应力-应变关系。 这种关系应根据岩土地基的力学性质确定。目前，主要采用两种弹性地基模型：一种是温克勒地基模型；另一种是半空间弹性体地基模型；此外尚有介于两种模型之间的双参数弹性地基模型以及有限压缩层地基模型等。鉴于弹性地基模型不尽符合实际，后来又出现了弹塑性地基模型、粘弹塑性地基模型及应用于数值计算的非线性地基模型。

在进行地基上梁和板的计算时，可根据上述地基计算模型建立相应的地基反力假定式，代入(1)或(2)式即可直接或间接得出p(x)或p(x,y)。 但计算繁琐。因此，在工程中采用了近似的方法求解，例如；微分方程直接解法、级数法、链杆法、能量法、有限差分法及有限元法等。

地基上梁的计算方法　温克勒地基上梁的计算 　假设地基单位面积上所受的压力p与地基的竖向位移g成正比，

p=ky(3)

式中k为基床系数（地基反力模量）。

这种假设，相当于把地基模拟为刚性底座上一系列独立的弹簧体系。在荷载作用下，应力在这种地基中不扩散，因此地基被视为非连续体（图2a）,这样便简化了梁或板挠曲变形的计算。但是,此假设与实际地基性状有较大的出入。而且,基床系数ky并非常数,在同样的压力下,又与受压面积大小和形状、压盘刚度等有关，故难以通过试验求得。

由式(1)、(3)可导出地基上梁的位移方程：

(4)

式中，b为梁宽。

λl（l为梁的长度）称为柔度指数,是表征温克勒地基与梁相对刚柔程度的无量纲数。具有不同λl的梁，其性状有明显不同。为了便于计算，一般按λl的大小将梁分类。分类标准随各专业的要求有所不同，通常规定：λl＜π/4为短梁；π/4＜λlπ为无限长梁。对不同类型的梁选择不同的边界条件求解微分方程。可供选择的方法有:初始参数法、迭代法、应变能法等。若将上述微分方程化为有限差分方程，则成为线性方程数值解法，计算较为简便。现在，借助于计算机已使有限元法广泛应用于这一领域。有限差分法或有限元法还适用于变截面梁和基床系数为变量的情况。

弹性半空间地基上梁的计算 　假设地基为均质、各向同性、半无限的连续弹性体（图2b），在一定压力范围内，地基应力与应变关系近似地服从于广义胡克定律，因而，可用弹性理论公式求解地基表面压力与竖向位移的关系式。地基变形参数以变形模量E0及泊松比μ0表征。该模型可用于各种地基土层。

关于弹性半空间地基上梁的近似解法，由于弹性连续体上梁需要考虑二维或三维变形性状，基本方程是积分微分方程形式，直接求解很困难，因而也采用近似的数值分析方法。

地基上板的计算方法　与梁基本相同，只是方程式(2)较(1)更复杂，多采用有限差分法与有限元法解决。

在上述地基上梁和板的计算中，有的忽略了上部结构刚度的影响，有的把基础当作绝对刚性的。这种忽视上部结构的存在和把基础看成地基上孤立的梁和板的作法是不符合结构-基础-土相互作用的概念的。所以，计算结果误差较大。若计入相互作用，即将结构随施工过程逐步形成的刚度的影响考虑进去，则其分析方法与地基上梁或板计算的就大不相同。所以，对于复杂的、高的或重型的结构，必须应用上部结构-基础-地基相互作用的原理进行分析与计算，才能得到较为符合实际情况的地基反力、结构与基础内力和变形。

上部结构、基础与地基的相互作用，是三者在荷载（包括上部结构与基础自重）作用下，作用力与变形之间的相互协调、制约的过程。地基由于荷载或土质软硬不均会产生不均匀沉降，但因上部结构和基础具有一定的刚度,在伴随地基产生相应的变形过程中,将对地基沉降起制约作用。三者之间各部位的作用力互相调整，最后协调一致达到作用力间的平衡及变形稳定。在基础设计中，正确考虑这种相互作用，将提高设计的合理性和准确性，使更符合实际情况。

在上部结构、地基与基础的相互作用研究中，已有相当数量的现场实测资料和计算分析研究。在结构刚度形成的滞后效应及刚度发挥的有限性，结构内力重分布规律，有效工作刚度及其在不同施工和使用阶段的作用性质,地基回弹再压缩计算模型等方面均取得进展,有的已应用于工程设计中。相互作用是一个复杂的问题，影响因素较多，有关这方面的研究，目前仍在不断发展。

参考书目

A.P.S.塞尔瓦杜雷著，范文田等译：《土与基础相互作用的弹性分析》，中国铁道出版社，北京，1984。(A.P. S.Selvadurai，Elastic　Analysis　of　Soil-Foundation Interaction, Elsevier　Scientific Pub.Co.，Amsterdam-Oxford-New York，1979.)