垂径定理历史悠久，是平面几何中与圆、弦、直径有关的基本定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
定理内容
垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
如图，是圆的直径，垂直于弦，垂足为，则，点 平分优弧 ，点平分
劣弧 。
定理证明
点的标记沿用前一部分中的图片。对于定理中的部分，有三种方法证明，如下。
方法一：利用全等三角形
由，，可知（判据：HL）。
于是得证。
方法二：利用等腰三角形
由于，且是等腰三角形底边上的高，故由等腰三角形的三线合一可知，也是底边上的中线。
于是得证。
方法三：利用对称性
直径既是圆的对称轴，同时也是等腰三角形的对称轴，因此若将图形沿着直径折叠， 将与重合。由此可证，也可以证明直径平分两条弧。
定理推广
垂径定理的推论
由垂径定理出发，可以提出如下推论：
1. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。
2. 弦的垂直平分线是直径，且平分弦所对的两条弧。
3. 平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，且平分弦所对的另一条弧。
4. 平行弦所夹的弧长相等。
垂径定理与其推论可以概括为如下所述的“知二推三”。
给定圆中的两条弦，其中一条弦：①过圆心（是直径）；②垂直于另一条弦；③平分另一条弦（非直径）；④平分另一弦所对的优弧；⑤平分另一弦所对的劣弧。这五条中，以任意两条为前提，均可推出另外三条。
圆锥曲线中的推广
对于圆锥曲线，也有与垂径定理类似的结论，如下所述。
1. 对于椭圆，其方程为
不过原点的直线与椭圆交于两点，弦的中点为，且直线的斜率都存在，那么它们的斜率之积为定值
特别地，直接令上式中，那么得到圆中的垂径定理。
2. 对于双曲线，其方程为
不过原点的直线与椭圆交于两点，弦的中点为，且直线的斜率都存在，那么它们的斜率之积为定值
可以将椭圆、双曲线中的垂径定理统一地写为
其中是离心率。
3. 对于抛物线，其方程为
不过原点、不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，弦的中点为，那么直线的的斜率之积为定值
如果抛物线方程为
那么
上述推广的证明只需利用“点差法”，以椭圆为例，证明过程如下：
设，那么
两式相减，得
整理即得
从而椭圆中的垂径定理推广得证。
定理简史
垂径定理的历史可以追溯到古巴比伦时期。在大英博物馆所藏数学泥板BM85194上，就有利用垂径定理解决几何问题的记载。
垂径定理被正式提出，最早可能是在公元前3世纪的古希腊数学家欧几里得《几何原本》第三卷中。欧几里得运用了全等三角形的定理来严谨地证明了垂径定理的正确性。
在中国古代书籍中，也有垂径定理出现。著名的《九章算术》中有利用垂径定理解答具体问题的记载；此外，其中的“割圆术”也隐含着垂径定理的内容。这些成果都建立在垂径定理的基础之上，可见中国古代数学家已经对垂径定理的结论了然于心。
在6世纪，古印度数学家阿耶波多在其著作《阿耶波多历算书》中研究了原内的弦、矢、直径之间的关系；在12世纪，婆什迦罗在原先基础上进一步给出了“矢弦法则”，是为垂径定理与勾股定理的推论。
近代欧洲的数学家们将以往的成果整理并出版，垂径定理由此成为了各大几何书籍中基本的几何定理，并在清初传入中国。
应用举例
例1 在半径为10的圆中，有一条弦长为16的弦，点在圆上，，垂足为，求的长。
解答：由垂径定理，可知；再由勾股定理得。
于是。
例2 一块圆形玻璃被打碎了，残片保有一部分边缘部分，如图所示。现要配一块大小相同的玻璃，应如何确定圆的大小？
答：在边缘任取两点，作线段的垂直平分线，由垂径定理可知圆心一定位于该直线上；然后取另外两点重复该过程，两个垂直平分线的交点即为圆心。最后即可由圆心到边缘的距离确定玻璃的半径。
例3 已知双曲线
是的焦点，过的直线与双曲线相交于，且中点的坐标为，确定的方程。
解答：由双曲线的垂径定理推广结论，有：
然后由于焦点横坐标为，可知
于是，双曲线的方程为
得解。