数学上，给出一个拓扑空间和在其上作用的群，一个点在群作用下的像是这个作用的一个轨道。一个基本域是这个空间的一个子集，包含了每个轨道中恰好一点。基本域具体地用几何表现出抽象的轨道代表集。

构造基本域的方法有很多。一般会要求基本域是连通的，又对其边界加上一些限制，例如是光滑或是多面的。基本域在群作用下的像，就会把空间密铺。

拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

拓扑空间是一个集合和其上定义的拓扑结构组成的二元组。的元素通常称为拓扑空间的点。而拓扑结构一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。 

的子集族称为开集系（其中的元素称为开集），当且仅当其满足如下开集公理：

O1：，。

O2：若（），则（对任意并运算封闭）。

O3：若，则。（对有限交运算封闭）。

从开集出发定义其它各概念：

从开集定义闭集：的子集是闭集，当且仅当是开集。

从开集定义邻域：的子集是点的邻域，当且仅当存在开集，使。

从开集定义开核：的子集的开核等于包含的所有开集之并。

的子集族称为闭集系（其中的元素称为闭集），当且仅当其满足如下闭集公理：

C1：，。

C2：若（），则（对任意交运算封闭）。

C3：若，则。（对有限并运算封闭）。

（显然，闭集是开集的对偶概念）。

从闭集出发定义其它各概念：

从闭集定义开集：的子集是开集，当且仅当是闭集。

从闭集定义闭包：的子集的闭包等于包含A的所有闭集之交。

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都是拓扑的开集时，称拓扑比拓扑更细，或称拓扑比拓扑更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。

一个群必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是封闭性、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆元素。很多熟知的数学结构比如数系统都遵从这些公理，例如整数配备上加法运算就形成一个群。如果将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理起源于抽象代数或其他许多数学分支的实体，而同时保留对象的本质结构性质。

群在数学内外各个领域中是无处不在的，这使得它们成为当代数学的组成的中心原理。

群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的如此描述物体的对称特征：它是保持物体不变的变换的集合。这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。

群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在1830年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何学的贡献之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式（群的表示）。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在1983年完成的有限简单群分类中达到顶峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支。

密铺（Tessellation）或称平面填充、细分曲面（subdivision surface），是指把一些较小的表面填满一个较大的表面而不留任何空隙。在数学上，密铺可以推广到更高的维度，称为空间填充。

有规律的密铺具有周期性的重复模式，较特殊的种类有平面正密铺由正多边形组成，而且是由同一种形状独立完成整个密铺，和平面半正密铺与拟半正密铺用不只一个正多边形完成密铺，前者在每个角落都有相同配置，后者则是周期性的重复模式。有规律的密铺形成的图案可分为17组。缺乏重复图案的密铺被称为“非周期密铺”。非周期性平铺使用一些较小的表面填满一个较大的表面而不留任何空隙，但由于每一片的形状皆不相同，以致无法形成重复图案。有时可用在面积上计算图案的大小。