复几何(complex geometry)复流形上的几何学.复流形是具有复结构的微分流形，即局部地它能与n维复数空间C″的一个开邻域解析同胚.因此，一个n维复流形自然也是2n维实流形.复流形是解析流形.1维复流形(黎曼面)的研究有着悠久的历史，而高维复流形的研究直到20世纪40年代才开始.任何复流形上总存在埃尔米特度量，它是一种复形式的黎曼度量.具有埃尔米特度量的复流形称为埃尔米特流形.在埃尔米特流形上可构造一个2次外微分形式，称为克勒形式，它的系数由埃尔米特度量的系数确定.若一个埃尔米特流形的克勒形式是闭形式，则称之为克勒流形，它是复几何的主要研究对象.在克勒流形上，除了像黎曼流形那样可定义截面曲率、里奇曲率和数量曲率外，还可定义全纯截面曲率和双截面曲率，因而具有更多的几何信息。

概述

复几何中一个著名的问题是卡拉比猜想:在任何紧致复流形上存在着克勒一爱因斯坦度量(即里奇曲率为常数的克勒度量).对于具有非正第一陈氏类的紧致复流形，这个猜想在1976年被丘成桐解决了.对于具有正第一陈氏类的紧致复流形，当维数为2时这个猜想在1989年被田刚完全解决.但当维数较高时，这个猜想至今仍未解决.复几何中还有不少尚待研究的课题，它将继续向前发展，并将取得更多的新成果.