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复合映射

数学术语

复合映射是映射g和f构成的复合映射。映射f和g构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f的定义域内，否则，不能构成复合映射。

概念

对二元关系可以进行复合运算和逆运算，映射也是一种二元关系，按照关系的复合运算可以对复合映射给出下面定义。

定义：设映射，，则与的复合映射，是一个从到的映射，记作，简记作，即

{，且存在，，使}。

应当注意，当复合关系是一个复合映射时，在它的表示符号中颠倒了与的位置而写成了，目的是为了将变元放在映射符号的右侧，使，因此也常称为对的左复合，体现出先写出的后进行。

基本定理

定理1：设映射，，，则

定理1的证明：由映射与复合映射的定义可知，与都是的复合映射。

对于任意，设，，，其中，，，则

由于的任意性，所以，。证毕。

定理2：设，，，则

（1）若与都是满射，则也是满射；

（2）若与都是单射，则也是单射；

（3）若与都是双射，则也是双射。

定理2的证明：（1）设任意，由于映射是满射，所以存在某个，使得。又因为映射也是满射，也必有某个，使得，于是，因此是满射。

（2）设任意，且，由于映射是单射，所以，又由于映射也是单射，所以。因此，由可得，故是单射。

（3）由于映射和都是双射，由（1）和（2），可以得出既是满射又是单射，所以也是双射。证毕。

参考资料

最新修订时间：2023-07-04 23:09

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概念

基本定理

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