自同构群是一种特殊的群。指群自身的映射所构成的群。群G的所有自同构在映射的合成运算下构成的一个群，称为群G的自同构群，常记为Aut(G)。

G的一个自同构如不是内自同构，便称为外自同构。外自同构群Out(G)的元素是G的内自同构子群Inn(G)在自同构群Aut(G)中的陪集，故其元素不是外自同构，而是可对应到某外自同构加上任何内自同构，因此不能定义G的外自同构群于G上的作用。不过因为内自同构都将群G的元素映射到同共轭类的元素，所以可定义出外自同构群在G的共轭类上的作用。

然而，若G为阿贝尔群，则G的内自同构子群是平凡子群，于是Out(G)可以自然地等同于Aut(G)，即是Out(G)的每个元素都对应唯一的自同构，因此Out(G)可以作用于G上。（而这时G的共轭类也各仅有一个元素。）

内自同构是一类特殊的自同构。若g是群G中一个元，则映射：

给出群G的一个自同构，称这样的自同构为群G的内自同构。群G的所有内自同构在映射的合成运算下构成一个群，称为G的内自同构群，常记为Inn(G)。若G为交换群，则Inn(G)={1}。群G的内自同构群是它的自同构群的正规子群。群G的内自同构群同构于商群G/Z(G)，其中Z(G)为G的中心，即Inn(G)G/Z(G)。群G的不是内自构的自同构称为外自同构。商群Out(G)=Aut(G)/Inn(G)称为G的外自同构群。外自同构群的元素一般不是自同构。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

两个数学系统(例如两个代数系统)，当它们的元素及各自所定义的运算一一对应，并且运算结果也保持一一对应，则称这两个系统同构，记为≌。它们对于所定义的运算，具有相同的结构。例如，十进制数与二进制数是同构的。

建立同构关系的映射，称为同构映射。例如，当映射为一一映射，并且对应元素关于运算保持对应时，就是同构映射。

同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况，一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题，从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂，但利用同构概念，不仅使数学得到简化，而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同，但本质上等价的结果，可以用统一的形式表达出来。例如，如果四色定理得到了证明，其他数学分支中与它同构的几十个假设，也同时得到了证明。

自同构群是一种特殊的群。指群自身的映射所构成的群。群G的所有自同构在映射的合成运算下构成的一个群，称为群G的自同构群，常记为Aut(G)。

自同构群是一种重要的几何变换群。是几何学分类的依据.设S是给定的空间，U是S上的一个图形，若S到自身的一个变换g把U变到U自身，则称g是关于U的自同构变换，简称关于U的自同构。S上关于U的自同构变换的全体构成一个变换群，称它为关于U的自同构群。在变换中保持不变的这个图形U称为绝对形。例如，在射影平面上取一条直线作无穷远直线，则在射影平面上保持无穷远直线不变的自同构射影变换构成一个变换群，它是关于无穷远直线的自同构群，同时它也是二维射影变换群的子群，即仿射变换群。