子层
由子群关系对对应的层
子层是由子群关系对对应的层。
简介
子层是由子群关系对对应的层。
设 (R,π,X) 与 (S,η,X) 是 X 上的群层,若 R 是 S 的开子集,η|R=π,且对所有的 是 的子群,则称 (R,π,X) 是 (S,η,X) 的子层。
子群
群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构;是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
如果群 G 的非空子集合 H 对于 G 的运算也成一个群,那么 H 称为 G 的子群。 设 G 是群, H 是 G 的非空子集,且 H 关于 G 上的运算也构成群 ,则称 H 是 G 的子群。
数学上,在给定拓扑空间X上的一个层(sheaf)(或译束、捆)F对于X的每个开集给出一个集合或者一个更丰富的结构F(U) 。这个结构F(U) 和把开集限制(restricting)到更小的子集的操作相容,并且可以把小的开集粘起来得到更大的。一个预层(presheaf)和一个层相似,但它可能不可以粘起来。事实上,层使得我们可以用一种细致的方式讨论什么是局部性质,就像应用在函数上的层。
层用于拓扑代数几何和微分几何,只要想跟踪给定的几何空间的随着每个开集变化的代数数据,就可以用层。他们是研究局部有变化(依赖于所选开集的)的对象的全局工具。这样,它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具,例如开集解析函数流形,等等。
作为一个典型的例子,考虑拓扑空间X,对于每个X中的开集U,令F(U) 为所有连续函数U→R的集合。如果V是U的开子集,则U上的函数可以限制到V上,而我们得倒映射F(U) →F(VUi是给定的开集其并为U,对于每个i我们给定一个元素fi∈F(Ui) ,一个连续函数fi:Ui→R。如果这些函数在重合的地方相等,则我们可以一种唯一的方式把他们粘起来得倒一个连续函数f:U→R,它和所有给定的函数fi一致。所有集合F(U) 的类和限制映射F(U) →F(V) 成为一个X上的集合的层。进一步的,每个F(U) 是一个交换环,而限制映射是环同态,这使F成为X上的环的层。
作为很相似的例子,考虑一个微分流形X,对于X的每个开集U,令F(U) 为所有可微函数U→R的集合。这里同样的有粘合,并且我们得倒X上的环的层。另一个X上的层是,对于X的每个开集U给定所有定义在U上的可微向量场向量空间。限制和粘合向量场和函数上的操作一样,然后我们得倒流形X上的向量空间的层。
参考资料
最新修订时间:2022-08-25 15:36
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概述
简介
子群
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