子流形是单浸入映射对应的流形间的关系。设M与N是两个微分流形，φ：M→N是C∞映射，若φ是单射，且φ是浸入，则称(M，φ)是N的子流形。或等价地定义为：M作为点集是N的子集，且从M到N的恒等映射是M到N中的嵌入，就称M为N的子流形。

设M是一个微分流形，N是M的子集， 如果N也是流形， 并且其微分结构和拓扑结构都是由M上的相应结构的限制而得。

确切的说， 如果包含映射i:N→M是嵌入映射（就是说，不但是拓扑的嵌入，还是保能够区分切向量的微分映射。）

如果N是M的开集，就称为开子流形。

设N，M分别为n，m维的微分流形。F为N到M的C映射。若F的秩(rankF)在N的每点都等于n，则称映射F为N到M的一个浸入。若浸入F是单射，则称F为1-1浸入。

设F为N到M的1-1浸入，此映射下的像Ñ=F(N)⊂M，在Ñ上赋予拓扑和微分结构：设(U，ᵠ)为N的坐标邻域，令V=F(U)，φ=ᵠ°F，则(V，φ)为Ñ上的坐标邻域。使得F成为N到Ñ的微分同胚，则Ñ称为M的n维浸入子流形。

设F为N到M的1-1浸入，若F同时是N到M内的同胚映射，亦即，在映射的像Ñ=F(N)取M中的子空间拓扑时，F是N到Ñ上的同胚映射。则称Ñ为M的n维嵌入子流形。映射F称为嵌入映射。

浸入和嵌入的区别是就整体而言，在局部二者是一致的。事实上，若F为N到M的浸入映射，则在任何点P∈N，总存在P的坐标邻域 (U，φ)，使得F限制在U上F|u是U到M内的嵌入。

设N是微分流形M的子集，具有以下性质：N的每点P，存在包含P的M中的坐标邻域(U，ᵠ)其局部坐标为x，…，x，使得： (1)φ(p)=(0，…，0) ∈R。(2) (U)=Cε(0)——以原点为中心的立方体邻域。(3) ᵠ(U∩N) = {x∈Cε(0)|x=…=x=0}。具有如上性质的子集N称M的n维正则子流形，正则子流形本质上就是嵌入子流形。

流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个(局部)坐标系间的坐标变换都是连续的。n维流形的概念在18世纪法国数学家拉格朗日的力学研究中已有萌芽。19世纪中叶英国数学家凯莱(1843)、德国数学家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士数学家施勒夫利(1852)分别论述了n维欧几里得空间理论，把它视为n个实变量的连续统。1854年德国数学家黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个(n-1)维流形按照一维流形方式放在一起而形成的，从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。法国数学家庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域(被称为庞加莱流形)，从而开辟了组合拓扑学的道路。

对流形的深入研究集中在流形上的微分结构与组合结构的存在性、唯一性问题，微分结构与组合结构的关系，流形的各种意义下的分类等问题，20世纪50—60年代做出许多重要结果，近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题，其研究仍在继续。

设M是仿紧豪斯道夫 (Hau-sdorff)空间，且是拓扑流形，称A= {(Uα，Фα)|α∈P}是它的地图，如果{Uα|α∈P}是M的开覆盖，Фα是从Uα到n维欧氏空间R的某开集上的同胚。(Uα，Φα)称为坐标卡。如果两个坐标卡 (Uα，Фα)，(Uβ，Φβ) 满足Uα∩Uβ≠Φ，则称Φβ·Фα：Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ： Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 为Uα∩Uβ上的坐标变换。如果A的所有坐标变换都是C可微的，则称A为一个C地图，其中1≤r≤∞。r也可等于ω，此时A称为解析地图。拓扑流形M的坐标卡 (U，Φ) 称为与A是Cr相容的，如果任意(Uα，Φα) ∈A，坐标变换Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓扑流形M的C地图A称为最大的，如果它包含M的所有与之C相容的坐标卡。M上的最大C地图A称为M的C微分结构。(M，A)称为C微分流形，或简称为C流形。当r=∞时，C微分结构也称为光滑结构，C流形也称为光滑流形。r=ω时，C结构也称为解析结构，C流形称为解析流形。C流形(M，A)有时也简记为M。

从直观上看，拓扑流形是局部欧氏空间，局部之间用同胚映射(坐标变换)粘贴在一起。n维C流形，不仅局部同胚于n维欧氏空间，而且局部之间是用C光滑、且其逆也C光滑的坐标变换粘贴在一起。

两个C流形M和N，f：M→N是连续映射，且任一点P∈M，有包含P点的M中的坐标卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐标卡(V，φ)，使得f(U)⊂V，同时，映射φ°f°Φ-1：Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，则称f是C映射。C映射也称为光滑映射，C映射也称为解析映射。其中称为f的局部表示。

C流形M和N之间的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，则称f是C微分同胚。

亦称恒等函数。一种重要的映射。对任何元素，象与原象相同的映射。对于映射f，若它的定义域A和值域B相等，并对所有的a∈A均有f(a)=a时，则称f为恒等映射。常记为IA或idA，eA等。

恒等映射有下列性质：

1.对映射f：A→B，IB°f=f°IA=f。

2.对映射f：A→B，若存在映射g：A→B，使得：g°f=IA，f°g=IB，则f是一一对应，且g=f-1。

3.对任何集A，都存在惟一的恒等映射IA。

4.恒等映射IA是双射，且I-1A=IA。