完全映射(perfect mapping)亦称完备映射，一类重要的映射。设X，Y为拓扑空间，映射f：X→Y。若对于任意y∈Y，f(y)是X的紧集，则称f为紧映射。若f是紧的、闭的且连续的映射，则称f为完全映射。

完全映射(perfect mapping)亦称完备映射。一类重要的映射。设X，Y为拓扑空间，映射f：X→Y。若对于任意y∈Y，f(y)是X的紧集，则称f为紧映射。若f是紧的、闭的且连续的映射，则称f为完全映射。紧空间到豪斯多夫空间的连续映射是完全映射。在完全映射下紧集的原像是紧集。两个完全映射的复合映射是完全映射。完全映射在闭集上的限制是完全映射.若fs：Xs→Ys(s∈D)的直积为：

则f是完全映射的充分必要条件是，所有fs是完全映射。在完全映射下，拓扑空间的Ti(i=2，3，4，5，6)分离性是不变性。局部紧性与可度量性也是完全映射的不变性。正则性、紧性、局部紧性是完全映射的逆不变性。完全映射首先由维因希捷依(Baǔнщтeǔн，И.A.)于1947年对于度量空间的情形引入的。勒雷(Leray，J.)与布尔巴基(Bourbaki，N.)于1950-1951年对于局部紧空间情形独立地引入并研究了完全映射。

在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词。映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。 基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。

两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有有唯一的一个元素y与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。其中，b称为元素a在映射f下的象，记作：b=f(a)。a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(A)。

或者说，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。

注意：(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每个元素都有原象（即满射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象（即单射），则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。

欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

亦称紧致空间。最重要的一类拓扑空间。若拓扑空间X的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称X为紧空间。下列条件分别与紧性是等价的：

1.具有有限交性质的闭集族有非空交。

2.具有有限交性质的集族其各成员之闭包的交非空。

3.任意网有聚点。

4.任意滤子有聚点。

5.任意极大滤子是收敛滤子。

平凡空间、有限补空间都是紧空间，但实直线不是紧的。紧性是闭遗传的且具有可积性。紧空间的连续像是紧空间。紧豪斯多夫空间是正规空间。

紧性概念起源于在1894年被证明的波莱尔定理：闭区间的任意可数开覆盖有有限子覆盖。勒贝格(Lebesgue，H.L.)注意到该定理对闭区间的任意开覆盖同样成立。波莱尔(Borel，(F.-É.-J.-)É.)于1903年又将此结果推广到欧氏空间的有界闭子集上。亚尼谢夫斯基(Janiszewski，Z.)于1912年对于抽象空间曾用过紧性概念。紧空间的概念是菲托里斯(Vietoris，I.)于1921年引入的。在紧空间理论形成和发展过程中，库拉托夫斯基(Kuratowski，K.)和谢尔品斯基(Sierpiski，W.)于1921年，萨克斯(Saks，S.)于1921年，亚历山德罗夫(Александров，П.С.)和乌雷松(Урысон，П.С.)于1923年，吉洪诺夫(Тихонов，А.Н.)于1930年，都先后作出了卓越的贡献。