定向配边类(oriented cobordism class)是流形的一种等价类，对于两个光滑紧定向n维流形M与M′，若存在一个光滑紧的带边的定向流形X，使得∂X及其诱导定向在保持定向的同胚之下同胚于M与(-M′)的无交并，则称M与M′属于同一个定向配边类。定向配边类的这种关系是自反的、对称的和传递的，因此是一个等价关系，在这种等价关系之下的等价类之集记为Ωn，对Ωn中的任意两个元素{M}，{M′}，用无交并作为群运算，则Ωn构成一个阿贝尔群，这个群的零元就是空流形的配边类。例如，可以列出定向配边类群如下：Ω0≅Z，Ω1=0，Ω2=0，Ω3=0，Ω4≅Z，Ω5=Z/2，Ω6=0，Ω7=0，Ω8≅Z⊕Z，Ω9=(Z/2)⊕(Z/2)，Ω10≅Z/2，Ω11≅Z/2。

定向配边理论的研究对象是所有定向流形的集合，其中所有流形都有两种定向。如果一种用 表示，另一种则用 表示，它们在这个集合中代表不同的元素。

两个 维闭流形 称为定向配边，如果存在一个, 维可定向有边缘流形X，使得

这样，所有定向流形在这种等价关系之下形成等价类。定向配边等价类的集合同样可引入加法构成阿贝尔群 ，引进乘法构成分次反交换代数 ，称为定向配边环。

经过托姆、米尔诺(Milnor，John Willard，1931-) 和沃尔的研究， 的结构也完全决定。

托姆基本定理

其中 为旋转群的托姆谱。

结构定理

是Q上多项式环，

即每维各有一个生成元，这生成元为复射影空间的定向配边类。

1960年，米尔诺证明没有p分量，p为任意奇素数。同年，沃尔证明的2分量中不含4阶元素。

设为中所有挠元构成的理想，则为上多面‘式环，以为生成元，其中可取为复维非奇异代数簇。

定向配边不变量

两个定向闭流形定向配边当且仅当其所有的施蒂费尔-惠特尼示性数和庞特里亚金示性数对应相等。

的具体结构如下：

时，所有均不等于0。