实二次型(real quadratic form)是一类重要的二次型，指实数域上的二次型，任意实二次型f(x1，x2，…，xn)都可以通过实满秩线性代换化为形如y21+…+y2p-y2p+1-…-y2r的标准形。这种标准形称为实二次型f的规范型或正规型，其中r是f的秩，正平方项个数p称为f的正惯性指数，负平方项个数q=r-p称为f的负惯性指数，s=p-q称为f的符号差，实二次型的正、负惯性指数是惟一确定的，此称为实二次型的惯性定律，亦称惯性定理。此定理由西尔维斯特(J.J.Sylvester)给出，故亦称西尔维斯特定理。但他认为不证自明。雅可比(C.G.J.Jacobi)也独立发现并证明了这个定理。两个n元实二次型等价的充分必要条件是：它们有相同的秩，且有相同的正惯性指数(或有相同的秩与符号差)。

(1) n元实二次型指的是含有n个变量 的实系数二次齐次多项式

其中

为n阶实对称矩阵。

对于取定的变量组 来说,n元实二次型f( )=x'Ax与n阶实对称矩阵A=(aij)n×n是互相唯一确定的，称A是二次型f的矩阵，称f是以A为矩阵的二次型。

(2) 只有平方项 而没有交叉项 ,i≠j的二次型称为n元标准二次型

其中

(3)如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P使B=P'AP，则称A与B合同，记为 。矩阵之间的合同关系有反身性、对称性和传递性。

(4)所有平方项的系数为±1或0的标准二次型称为规范二次型

其中

r是二次型的秩，k为二次型的正惯性指数，r-k为二次型的负惯性指数，k-(r-k)=2k-r为二次型的符号差。

(1)对于任何变量值 ，二次型f( )=x'Ax的值恒为0 A=O。

(2)n阶方阵A和B等价指的是存在n阶可逆矩阵P和Q使得B=PAQ，记为A≌B。

n阶方阵A和B相似指的是存在n阶可逆矩阵P使得B = P-1AP，记为A~B。

n阶方阵A和B合同指的是存在n阶可逆矩阵P使得B=P'AP，记为 。

两个相似的矩阵一定是等价的，两个合同的矩阵也一定是等价的。但是，反之并不成立，即等价的矩阵未必相似，也未必合同，矩阵相似与矩阵合同是两个不同的概念，只有当B = P-1AP中的P是正交矩阵时，才同时有B =P'AP，所以，两个矩阵正交相似与正交合同是一回事。

(3)对于任意一个n元实二次型f=x'Ax ，必存在正交变换x =Py,这里P是n阶正交矩阵，把它化为标准形：

f( )=x'Ax= (Py)'A(Py)=y'P'APy=y'Λy=

其中，λ1,... , λn就是对称矩阵A的n个特征值。

(4)对于任意一个n元实二次型f=x'Ax ，必存在可逆线性变换x=Qy，这里Q是n阶可逆矩阵，把它化为标准形

f()=x'Ax= (Qy)'A(Qy)=y'Q'AQy=y'Λy=

其中,未必是对称矩阵A的特征值。

(5)惯性定理 对于任意一个n元实二次型f=x'Ax，必存在可逆线性变换x=Rz，这里R是n阶可逆矩阵，把它化为规范形

f()=x'Ax=

其中k和r是由A唯一确定的(与所采用的变换的选择无关)。

惯性定理的矩阵形式。对于任意一个n阶对称矩阵A，一定存在n阶可逆矩阵R使得

其中k和r是由B唯一确定的。

(6)合同判别法。当A与B是同阶对称矩阵时，它们合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数，因为对称矩阵的秩就是它的正惯性指数和负惯性指数之和，所以，两个同阶对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数。