实数系（real number system）亦称实数连续统，即所有实数的集合。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算术运算的运算系统，故有实数系这个名称。

一、“数觉”产生自然数。形成自然数系

数的概念产生于原始人在生活和生产中逐渐形成了“有”和“无”、“多”和“少”的概念，再从“有”中分离出“多少”，逐渐产生1、2、3等自然数概念，这是人类蒙昧时期具有的“识数”的能力，这种能力心理学家称之为“数觉”。这种“数觉”并非为人类所独有，人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。最初的记数方法是由具体物品或标志(如手指、小石、刻痕、结绳等)来代替，根据一一对应的原则进行记数，以后便逐渐脱离了具体事物的量，抽象出纯粹的数的概念，这就是数字——记数的文字(数的语言)。不同的文明创造了迥然不同的记数方法，如，巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度一阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善，记数发展的第一个里程碑出现了：位值制记数法。所谓位值制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数，其中最重要和最美妙的记数法则是现在国际通用的常称为阿拉伯lO进位位值制记数法(阿拉伯数码)。

法国著名数学家拉普拉斯(Laplace，1749一1827)曾对此有过一段精彩的评论。他曾经写道：用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法，它今天看来如此简单，但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位。阿拉伯数码是历史遗留下来的不确切名称，其实叫做印度一阿拉伯数码更为恰当。它的演变，有一段漫长而复杂的历史。现已有充分而确凿的史料证明，lO进位位值制记数法最先产生于中国。印度一阿拉伯数码最早可以上溯到婆罗米文字，这种文字形成于公元前7、8世纪，是印度文字的祖先。完成位值制必须有“0”号，最初用空格表示零，后来用小点表示，印度最早的确凿无疑的“O”号出现在一块石碑上，年代是公元876年。公元773年，印度数码开始传人阿拉伯国家，有人顾名思义，认为“阿拉伯数码”就是阿拉伯人创造的数码，这是误解。

13世纪，欧洲的著名数学家斐波那契(L Fibonacci，1170一1250)写了一本书，名为《算盘书》，这是第一部向欧洲人介绍印度数码的著作。在欧洲人的印象中，这些数码来自阿拉伯国家，所以称之为阿拉伯数码，这个名称就这样沿用下来。由具体的记数需要抽象出数字的概念，伴之而来的就是数数，即数的运算，10进位位值制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。自然数系是一个离散的，而不是稠密的数系，它作为量的表征，它只限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示单位量的部分。在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算，即减法和除法。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。

二、引入分数，承认负数。形成有理数系

原始的分数概念来源于对量的分割。分数看作是正整数的比，这相当于自然数系中引入除法运算。为了使减法运算在自然数系内也通行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数时也多搪此理，这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进负数的。

而事实表明，负数的概念和运算法则首先出现在中国《九章算术》的“方程”一章中，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了，也并不认为它们是方程的根。如韦达(Vieta，1540一1630)完全不要负数，巴斯卡(Pascal，1623—1662)则认为从。减去纯粹是胡说。负数是人类第一次越过正数域的范围，此前种种经验，在负数面前全然无用。在自然数系中引入除法和减法运算，得到分数和负数的概念之后，自然数系就扩充成了有理数系。

古希腊数学的祖师之一毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，而数就是正整数(非零自然数)，分数看作整数之比。除此之外，他们不认识，也不承认有别的数。他们相信，任何量都可以表示成两个整数之比。从几何上讲，对于任意给定的两条线段，总能找到第三条线段，以它为单位(即公度)线段能将给定的两条线段划分为正数段。希腊人称这样给定的两条线段为“可公度量”，意思是有公共的度量单位。毕达哥拉斯学派讨论的数仅限于可公度的量。原意是“可表达的”、“可比的”和“有理由的”的意思，这就是有理数名称的由来。然而，毕达哥拉斯学派后来却发现，并不是任意两条线段是可公度的。例如，正方形的对角线与其一边就不能构成可公度线段。对于不可公度量，被认为是“不可比的”、“不可表达的”和“无理由的”，这就是无理数名称的由来。

三、接受无理数，完善实数理论

无理数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续发现了拉以外的许多无理数，如中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。这些“怪物”深深地困扰着古希腊的数学家们，这就是数学史上的“第一次数学危机”。

无理数(不可公度量)的发现，击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦，同时也暴露出有理数系的缺陷。一条从原点出发的直线上任意一点与原点的距离(线段长)，如果是可公度的，则对应一个有理数，如果是不可公度的，则找不到一个数与之对应，这说明直线上漏出了许多“孔隙”，尽管有理数有很多，在直线上是“稠密”公布的，但都不是连续的，不能与直线上的点形成一一对应。这是一个很困扰人的问题，它使得几何学在逻辑上绕不过不可公度障碍，势必形成几何学与算术的分离，如此一来，古希腊人把有理数视为连续衔接的设想就彻底地破灭了。

无理数是什么?现在的回答是：无限不循环小数。然而，什么是无限?如何判断不循环?两个无限不循环小数如何相加、相乘?法国数学家柯西(A．Cauchy，1789—1875)给出了回答：无理数是有理数序列的极限。如此一来必须在有理数系中引入极限运算。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意指预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”又从何而来呢?我们姑且像柯西一样，把有理数序列的极限看成是先验地存在的。这个极限可能是无理数，也可能是有理数，我们统称她是实数。

实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理。

它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。

7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。