对数判别法(logarithmic test)是正项级数收敛性的一种判别法，是以∑n-p，∑(nlnpn)-1为比较级数得到的判别正项级数∑an收敛性的方法。第一对数判别法：若存在p，使n充分大时Ln=(ln(1/an))/ln n≥p>1，则∑an收敛；若n充分大时Ln≤1，则∑an发散；第二对数判别法：设Ln=|ln(1/(nan))|/lnln n，结论同上。

第一对数判别法：若存在p，使n充分大时

或等价地，Ln>1，则∑an收敛；若n充分大时Ln≤1，则∑an发散。

第二对数判别法：设Ln=|ln(1/(nan))|/lnln n，结论同上。

设，且，试证明：当01时，级数收敛。

分析 该命题是正项级数的一个判敛法，称为对数判别法。证明的思路是用极限的定义导出m充分大后ln un与(q为某常数)之间的不等式关系，从而得un与之间的不等式关系，再用比较判别法。

证明 因为，所以任给ε>o，存在正整数N，当n>N时，有

即

当00，使A+ε=q<1，于是。即，而发散，所以发散；

当A>1时，取ε>0，使A-ε=p>1，于是，即，而收敛，所以收敛。

利用对数判别法研究如下通项的级数的收敛性：

【例1】

解利用对数判别法，因为：

由对数判别法，知仅当，即时，级数收敛。

【例2】

解利用对数判别法：

对于，存在n0，使当时，，故级数收敛。