设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。

对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵 ，如果对于 ，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵 ，使 的结果为对角矩阵，则称矩阵 将矩阵 对角化。对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。

定理1 令 为n×n矩阵，其特征值为 ，特征向量为 ，形成线性无关集合，以每个特征向量为列构成矩阵 ，如下所示。

矩阵 可以将矩阵 对角化，乘积矩阵 的主对角元素是矩阵 的特征值：

反之，如果存在可逆矩阵 ，使 为对角矩阵，则矩阵 的列等于矩阵 的特征向量， 的主对角元素为矩阵 的特征值。

证明：首先计算矩阵乘积 。由于矩阵 的第j列对应特征向量 ，则的第j列等于 。由于为特征向量，则，矩阵乘积可写为

由于特征向量线性无关，矩阵可逆，的表达式可写为

反之，也可证明，可将矩阵对角化的可逆矩阵 必定由的特征向量组成。假设为n×n对角矩阵，且，其中 为n×n矩阵，有

令表示矩阵 的第j列，为矩阵D的主对角线上的元素，则矩阵乘积AD的表达式如下：

另，矩阵乘积MA如下：

令AD的第j列等于MA的第j列，则，因此是与特征值对应的矩阵M的特征向量。 证毕。

由于对称矩阵M的特征向量是正交的，则以M的单位长度的特征向量为列构成的矩阵 是正交矩阵，因此。由对称矩阵M的特征值组成的矩阵D的表达式如下：

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

（1）对角矩阵形如：

（2）对角矩阵可以记作：。

（3）当时，对角阵称为数量矩阵。

（4）当时，叫做单位矩阵，记作E，有。

和差运算

同阶对角阵的和、差仍是对角阵，有：

数乘运算

数与对角阵的乘积仍为对角阵，有：

乘积运算

同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的，有：

充要条件

n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

证明过程：

（1）必要性。

设有可逆矩阵P，使得

令矩阵P的n个列向量为，则有

因而，因为P为可逆矩阵，所以为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值的特征向量。

（2）充分性。

由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为，对应的特征值分别为，则有，以这些向量为列构造矩阵，则P可逆，且，其中C如下：

即。

推论

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。