封闭折线
几何图形
封闭折线是一种几何图形,指一种特殊的折线。同一平面内,由不在同一直线上的几条线段顺次首尾相接所组成的图形叫作折线,如果一条折线的首尾两个端点重合,这条折线叫作封闭折线。
基本概念
不全在同一直线上的几条线段顺次首尾相接组成的图形叫做折线(如图1,图2)。各线段称为折线的边或折线的节;折线各边长之和称为折线的长;各线段的端点称为折线的顶点;相邻两个顶点称为邻顶点;不是两条线段公共端点的两个顶点都称为折线的端点;两端点重合(实际上即无端点)的折线称为封闭折线(图2)。组成折线的所有线段都在同一平面内的折线称为平面折线,否则称为空间折线。凡不相邻的两边不相交的折线称为简单折线,把一条平面简单折线的任一条边向两方延长成直线,如果能使这条折线的其他各边都在这条直线的同侧,那么这条平面折线称为凸折线,连结非封闭折线的两个端点的线段称为折线的锁线。
封闭折线的基本性质
平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形,称为平面折线。下面约定,任何端点不在另外的线段上,构成折线的线段称为边,线段的端点称为顶点,共边两顶点称为相邻顶点,如果折线每条边都有两条邻边,就称为封闭折线,否则,称为开折线。
定理1 n边封闭折线有n个顶点;n边开折线有n+1个顶点。
边不相交的折线称为简单折线,简单封闭折线称为多边形,多边形将平面分为两部分,其中有限部分称为多边形的内部,不难证明有:
定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为n-2个三角形。
定理3 n边形内角和等于(n-2)π。
沿折线一条边经顶点A走向邻边,如向左(右)拐,A就叫作边AB的左(右)折点(图3(a)),称一端为左折点,另一端为右折点的边(图3(b))为单折边,两端均为左或右折点的边(图3(c))为双折边,且前者为左旋边而后者为右旋边,易见,封闭折线的每个顶点,分别为两邻边的左折点和右折点,封闭折线有如下特征性质,
定理4封闭折线如果有双折边,则双折边成对、左右旋边各半且相间排列。
定理5 多边形P为凸的充要条件是P的所有边均为单折边。
定理6 若封闭折线有双折边,则顶角和不定。
定理7 m阶n边星形顶角和θ(n,m) = (m+1)π。
下面t环单折边封闭折线特征是:当沿着它的边界运动一周时,必绕某一中心旋转t圈,如图4中的折线分别1,2,3环。
定理8 n边t环封闭折线项角和为σ(n,t) = (n-2t)π。其中,n = 3,4,5,...;t = 1,2,3,...。
参考资料
最新修订时间:2022-08-25 16:28
目录
概述
基本概念
封闭折线的基本性质
参考资料