群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

射影酉群(projective unitary group)是一类典型群。指酉群的自然同态像。具有对合J的体K上关于厄米特型或反厄米特型f的酉群Un(K，f)在自然同态GLn(K)→PGLn(K)下的像。记为PUn(K，f)。酉群U(n)对应的射影酉群记为PU(n)。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

典型群是一类重要的群。一般线性群、酉群、辛群、正交群，以及它们的换位子群、对中心的商群等统称为典型群。实数域和复数域上的典型群是李群的重要例子，它们的构造及表示在李群理论、几何学、多复变函数论以至物理学中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通过对有限域上典型群的构造的研究得到了一大批有限单群。这是继交错群之后人们发现的又一批重要的有限单群系列。经过谢瓦莱(Chevalley，C.)的工作进一步扩展为有限李型单群的系列后，为有限单群分类的最后完成奠定了一个重要基础。迪厄多内(Dieudonné，J.)将迪克森的工作加以推广，通过研究任意体上的典型群的构造也得到了大量的单群。迪厄多内、施赖埃尔(Schreier，O.)、范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)、华罗庚、万哲先等对研究典型群的构造、自同构及同构作出了重要贡献。

酉群是一类重要的典型群。在复数域的特殊情形，全体n×n酉方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次酉群，记为U(n)。一般地，设K是带有对合J：a→a-的体，V是K上n维列向量空间，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，这里H∈GLn(K)且=εH，ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)对所有的x，y∈V成立，则称A是关于f的酉变换。关于f的全体酉变换组成GL(V)的一个子群，称为关于f的酉群，记为Un(K，f).从矩阵的观点看，Un(K，f)={A∈GLn(K)|HA=H}。当f是交错双线性型时Un(K，f)就是辛群Spn(K，f)；当K的特征≠2且f是对称双线性型时Un(K，f)就是正交群On(K，f);当K是复数域，J是复共轭，H=I时，酉群Un(K，f)就是酉群U(n)。

自然同态亦称标准同态或典范同态。群到其商群上的一种特殊同态。若N是群G的一个正规子群，则存在G到商群G/N上的一个映射f：g↦Ng。这个映射是G到G/N的满同态，称为自然同态，其中：

Imf=G/N，　ker f=N.

模同态是模论的重要概念之一。指两个模之间的一类映射。设M，N是两个A模，f是加群M到N的群同态，若f还保持A到M，N上的运算，即对任意a∈A，f(ax)=af(x)，x∈M，则称f是模同态，也称A同态。常记为f∈HomA(M，N)或f∈Hom(M，N).任意两个模M，N之间总存在模同态，例如，设f(x)=0，x∈M，通常称此同态为零同态。若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是AM到AM-的模同态，则称π为自然同态。模M，N之间的模同态集HomA(M，N)是一个加群，特别地，当M=N时，记：

End(AM)=HomA(M，N)，

它是一个环，称为模M的自同态环。A是End(AM)的子环。