尖点
数学名词
尖点(cusp)是曲线中的一种奇点,曲线在尖点。若一曲线可以由几组光滑函数来表示,几组光滑函数有交点,但曲线只通过此交点一次,此交点即为尖点。
简介
在数学中,尖点(cusp)在旧文本中称为奇点,是曲线上瞬间改变方向的一个点。 因此,尖点是曲线的奇点的一种。曲线在尖点时,没有自相交的情形。
对于由可微分参数方程定义的平面曲线
尖点是f和g的两个导数都为零的点,并且其中至少有一个改变符号。 在这个意义上,尖点是局部奇点,它们仅涉及参数t的一个值,与涉及多个值的自交点相反。
对于由隐式方程定义的曲线
尖点是F的泰勒展开的最低维的项;然而,并不是所有具有此属性的奇点都是尖点。
平面曲线尖点可以通过平面的不同形状被写成以下形式:
其中k≥1并且是整数。
差分几何分类
考虑两个变量的平滑实值函数,如f(x,y),其中x和y是实数。 所以f是从平面到线的一个函数。 所有这些平滑函数由平面和线的不同形状组成,源和目标之间的坐标变形不同。该动作将整个函数分成等价类。
这样的等价类的族由Ak±表示,其中k是非负整数,这个符号由V.I.Arnold提出。如果函数f位于x2±yk + 1的曲线中,那么函数f被认为是类型Ak±,即在源和目标中存在将坐标变换成这些形式。这些简单的形式x2±yk + 1被称为给出类型为Ak±的维度的正常表达式。 注意,由于源中坐标(x,y)→(x,-y)的变形变化为x2 + y2n + 1〜x2-y2n + 1,所以A2n +与A2n-相同。 所以我们可以从A2n±符号中减去±。
举例
普通的尖点由x2-y3= 0给出,即类型A2-奇点的零电平集合。 令f(x,y)为x和y的平滑函数,为了简便起见,假设f(0,0)= 0。那么(0,0)的f的类型A2奇点可以表征为:
(1)f的泰勒级数中的二次项,称为L(x,y)2,其中L(x,y)在x和y中是线性的;
(2)L(x,y)不分割f(x,y)的泰勒级数中的三次项。
通过x2 - y5 = 0给出了一个尖点,即A4型奇点的零维集合。对于A4型奇点,我们需要f具有简并二次部分(给出类型A≥2),L分割三次项(给出类型A≥3),另外可分解条件(给定类型A≥4) ,和最终的不可分割条件(给定类型为A4)。
为了看这些可分性条件来自哪里,假设f具有简并二次分量L2,并且L分割三次项。 因此,f的三阶泰勒级数由L2±LQ给出,其中Q在x和y中是二次方。 我们可以完成平方,显示L2±LQ =(L±½Q)2 - ¼Q4。 我们现在可以做出变量的变形(在这种情况下,我们简单地用线性独立的线性部分来代替多项式),使得(L±1QQ)2 - ¼Q4→x12 + P1其中P1在x1和y1中是四分之一(四阶)。 A≥4的可分性条件是x1除以P1。 如果x1不分P1,那么类型完全是A3。 如果x1划分P1,我们在x12 + P1上完成平方和改变坐标,使得我们有x22 + P2,其中P2在x2和y2中是五次的(五阶)。 如果x2不分割P2,则我们具有精确的A4类型,即零维度集是一个尖点。
应用
当在三维欧几里得空间中投射到平面中时,自然会出现尖点。 一般来说,这样的投影曲线,其奇点是自交点和尖点。 当两条曲线的不同点具有相同的投影时,出现自交点。 当曲线的切线平行于投影方向(即在单点上切线投影时),会出现尖点。 当多个现象同时发生时,会发生更复杂的奇点。 例如,对于拐点与投影方向平行的拐点(和起伏点)出现尖点。
在许多情况下,通常在计算机视觉和计算机图形学中,投影的曲线是对投影的(平滑)空间物体的限制的关键点的曲线。 因此,尖点显示为物体(视觉)或其影子(计算机图形)的图像的轮廓的奇点。
焦散和波阵面是具有在现实世界中可见的尖点的曲线的示例。
参考资料
最新修订时间:2024-06-12 10:53
目录
概述
简介
差分几何分类
参考资料