尺规作图(Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction)问题是起源于
古希腊的
数学课题。只使用
圆规和
直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的
平面几何作图题。不可能用尺规作图完成的作图问题,称为
尺规作图不能问题,如
三等分角问题、
化圆为方问题等。
尺规作图问题是起源于
古希腊的
数学课题,只使用
圆规和
直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的
平面几何作图题。值得注意的是,以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的,跟现实中的并非完全相同,具体而言,有以下的限制:
(1)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用
直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度;
(2)圆规可以开至
无限宽,但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。
尺规作图的研究,促成数学上多个领域的发展,许多数学结果就是为解决古希腊三大难题而得出的副产品,对尺规作图的探索推动了对
圆锥曲线的研究,并发现了一批著名的曲线。若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能的例子是利用了19世纪出现的
伽罗瓦理论以证明。尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以
化圆为方及三等分任意角(Angle trisection)最受注意。
古希腊三大难题是早期希腊数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从
希腊发源的,因此这三个古典几何问题在
几何学中有着很高的地位。它们分别是:
(1)
化圆为方问题:即求一个正方形的边长,使其面积与一已知圆的相等;
(2)
三等分角问题:即求一角使其角度是一已知角度的三分之一(可用只有一点刻度的直尺与圆规作出);
(3)
倍立方问题:即求一立方体的棱长,使其体积是一已知立方体的二倍(可以用木工的角尺作出)。
(3)只使用直尺和圆规,作
正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形已被证明是不能由尺规作出的。
(4)只使用直尺和圆规,作
正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的。
问题的解决:
高斯大学二年级时得出
正十七边形的
尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的
充分条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方乘以任意个(可为0个)不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题。1832年,Richelot与Schwendewein给出正257边形的尺规作法。1900年左右,Hermes花费十年的功夫用尺规作图作出
正65537边形,他的手稿装满一大皮箱,可以说是最复杂的尺规作图。
这道题只准许使用圆规,要求参与者将一个已知圆心的圆周4等分。这道题传言是
拿破仑·波拿巴拟出,向全法国数学家挑战的。这道题已被证明有解。