局部极小值：如果存在一个ε>;0，使的所有满足|x-x*|<ε 的x都有f(x*) ≤ f(x) 我们就把点x*对应的函数值f(x*)称为一个函数f的局部最小值。

如果存在一个 ，使得对于任意满足 的 都有 ，我们就把点 对应的函数值 称为函数 的一个局部最小值。从函数图象上看，局部最小值就像是山谷的底部。

相关概念

局部最大值：

如果存在一个 ，使得对于任意满足 的 都有 ，我们就把点 对应的函数值 称为函数 的一个局部最大值。从函数图象上看，局部最小值就像是山谷的顶部。

全局最大值：

如果 对于任意的 都满足 ，则称 为函数 的全局最大值

全局最小值：

如果 对于任意的 都满足 ，则称 为函数 的全局最小值

极值的第一充分条件

设 在点 连续，在某邻域 内可导。

(1)若当 时， ，当 时， ，则 在点 取得极小值。

(2)若当 时， ，当 时， ，则 在点 取得极大值。

极值的第二充分条件

设 在点 连续，在某邻域 内一阶可导，在 处二阶可导，且 。

(1)若 ，则 在 取得极大值

(2)若 ，则 在 取得极小值

极值的第三充分条件

设 在 的某邻域内存在知道 阶导函数，在 处 阶可导，且 ， ，则

(1)当 为偶数时， 在 处取得极值，且当 时取得极大值， 时取得极小值

(2)当 为奇数时， 在 处不取极值

多元函数的极值问题是多元函数微积分的重要应用，这里二元函数为例进行讨论。

定义

设函数 在点 的某邻域 内有定义。若对于任何点 ，成立不等式

则称函数 在点 取得极大（极小）值，点 称为 的极大(极小)值点。极大值、极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称为极值点。

注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点

极值必要条件

若函数 在点 存在偏导数，且在 取得极值，则有

反之，若函数 在点 满足上式，则称点 为 的稳定点。

极值充分条件

设二元函数 在点 的某邻域 上具有二阶连续偏导数，且 是 的稳定点。则当 在 处的黑塞(Hesse)矩阵是正定矩阵时， 在点 取得极小值；当 在 处的黑塞(Hesse)矩阵是负定矩阵时， 在点 取得极大值；当在处的黑塞(Hesse)矩阵是不定矩阵时，在点不取极值。