设f(x)为定义在n维
欧式空间En的某一个区域R上的n元实函数，其中X=(x1，x2，…，xn)T。
设 是欧氏空间 中某一区域 上的n元实函数，对于 ，若存在某个 ．使得所有 ，满足 ，则称 为 在R上的局部极小点(或称相对极小点)， 为局部极小值。若对于所有 ，且与 的距离小于 的 ，有 ，则称 为 在R上的严格局部极小点， 为严格局部极小值。
设 是欧氏空间 中某一区域 上的n元实函数。若点 对于所有 ，都有 ，则称 为 在 上的全局极小点，称 为全局极小值。若对于所有 ，且 ，都有 则称 为 在R上的严格全局极小点， 为严格全局极小值。
定理1：(极值存在的
必要条件)设是定义在区域上的实值函数，，是的内点。若在处可微，且在处取得局部极小值．则必有
满足上式的点通常称为
驻点。驻点是函数在区域内部可能取得极值的点，即在区域内部，极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。
定理2： (极值存在的
充分条件) 设函数是定义在区域上的实值函数，，是R的内点，在R上二次连续可微。若在处满足，且当点处的海赛矩阵正定(或负定)时，则在处取得严格局部极小值(或严格局部极大值)。