局部类域论(local class field theory)是刻画局部域的阿贝尔扩张的系统的理论，可由(整体)类域论导出；也可先用较特别的方法证明局部类域论，再由此推演出整体类域论。基本定理：若K/k为局部域的有限阿贝尔扩张，则伽罗瓦群G(K/k)同构于k*/NK*，而惯性群T(K/k)同构于Uk/NUK，式中N表示从K到k的范映射，Uk为k的单位群，同构均由阿廷映射给出，由此，k的诸有限阿贝尔扩张K/k与k*的诸开子群H之间一一对应，包含关系相反，即K对应于H=NK*，G(K/k)≌k*/H。

类域论是代数数论中最为重要的理论之一，也是数学所有理论中体系最为完美的理论之一。

类域论是描述下列几种类型的域k的Abel扩张(Galois群是交换群的有限Galois扩张)的理论：

(1)k为代数数域，即有理数域Q的有限扩张；

(2)k是p-adic数域 的有限扩张；

(3)k是有限域上一个变量的代数函数域；

(4)k是有限域上的形式幂级数域。

在类域论中，最为著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr还有其他一些数学家总结出来的类域论基本定理：

定理1(类域论基本定理) 若 是数域的有限Abel扩张，其Galois群为 ，则存在k的模 (称为 的导子，是的一个除子)。

(1)使得对k的任意模m，由 得出

其中 为与m互素的k的理想集， 为与m互素的K的理想到k的范的全体， 为模m余1的 生成的主理想集；

(2) k的素除子v在K分歧当且仅当 ；k的与m互素的素理想p在K中完全分裂当且仅当 ；

(3) 对k的任意模m和 的任一含 的子群H，总存在唯一的Abel扩张 使得 ，特别地

定理中， 称为射线理想类群，所谓射线理想类群即是一种广义理想类群，它是类域论最初的表述语言(马上将会用伊代尔语言给出类域论基本定理)。数域k的一个模(或称为闭链)是指其素除子的一个形式积

此积式中v遍历k的素除子，整数 只对有限个v非零，且当v是实除子时 或1，当v是复除子时 。对于 ，定义

为 (当v是 素除子)以及 到vC嵌入为正实数( 为实除子)。满足 的 生成的主理想的全体记为 ，与m互素的k的理想全体记作 ，于是 便称为k的以m为模的射线理想类群，其元素个数 称为射线理想类数。

上面已经提到，射线理想类群是类域论基本定理的最初表述语言，而更常用的是伊代尔语言，下面就给出类域论基本定理的伊代尔语言。

定理1'(类域论基本定理的伊代尔语言) 若是数域的有限Abel扩张，则

其中为k的伊代尔群，表示K的伊代尔群到k的范数。

上述群的同构是由Artin映射(Artin符号)给出的。由类域论基本定理的伊代尔语言可以看出，数域k的所有具有Abel扩张与的含的所有开子集H之间存在一一对应关系，即K对应于，称为H的类域(Class Field)，且

(类域论主同构)

(2)和(4)类型的域称为局部的，(1)和(4)类型的域称为整体的。于是，相应的就有局部类域论和整体类域论。

所谓局部类域论即是刻画局部域的Abel扩张的系统理论，它可由类域论导出，当然，也可先用较为特别的方法证明局部类域论，再由此推出整体类域论，局部类域论也有相应的基本定理。

定理2 若为局部域的有限Abel扩张，则

其中表示从K到k的范映射(范子群)，为惯性群，为k的单位群，同构同样由Artin映射(Artin符号)给出。由此可见，k的所有有限Abel扩张与的所有开子群H之间存在一一对应关系，即K对应于

(局部类域论主同构)

反之，的所有具有有限指数的开子群都可以成为某一Abel扩张K的范映射(范子群)，这便是局部类域论的存在性定理。

下面介绍类域论中的几个重要定理。

定理3(分裂定理) 设是H的类域()，v是k的素除子，则v在K(完全)分裂当且仅当。

定理4(分歧定理) 设是是H的类域()，v是k的素除子，则v在K中非分歧当且仅当，其中是的单位群。

定理5(同构定理) 数域k的Hilbert类域的Galois群与k的理想类群同构。

定理6(主理想定理) 数域k的任一理想到k的Hilbeft类域K上总为主理想，即总为K的主理想，为K的整数环。