在量子力学中，所有的物理规律在一个希尔伯特空间中表示，而这个希尔伯特空间（可以简易地先理解为无限维酉空间）中的一个矢量代表一个可能的物理态，这个矢量空间是右矢量空间；左矢量空间定义为右矢量空间的对偶（dual ）空间。每一个右矢量都有一个左矢量与之对偶。

其英文名的起源是将单词braket分成了两部分，bra表示左矢量，ket表示右矢量。

一般而言，在量子力学中一个右矢量我们会采取如下记号：

在不同表象（representation ）下，同一左矢量的表示也会不同，比如动量为p的平面波，我们标记其左矢量为

其在动量表象下的表示：

= (p'-p)

其在坐标表象下的表示却为：

性质

作为右矢量空间的对偶空间，左矢量空间也是希尔伯特空间，故而具有线性。

左矢量空间和右矢量空间在一起定义了内积运算，即：

这样其构成一个酉空间。

值得注意的是，对于线性中的数乘而言，将不改变右矢量所代表的物理态，而考虑到几率振幅的归一化，一般我们都会选取归一的右矢量，而其所对偶的左矢量也是归一的：

我们认为算符作用在右矢量上相当于对其进行一次线性变换，类似地，我们也可以认为算符共轭地作用在左矢量上，即若：

则有：

参考资料

最新修订时间：2024-06-17 17:01