差分算子_数学术语 - 线报百科mbji.cn

差分算子

数学术语

差分算子是一种算子，对任一实函数f(x)，若记Δf(x)=f(x+1)-f(x)，则称Δ为向前差分算子，简称差分算子。差分是计算数学的基本概念之一，指离散函数在离散节点上的改变量。

基本概念

差分算子在数值积分、数值微分和微分方程的数值解中是很有用的。人们总是希望把非平稳时间序列变换成平稳序列，以便于用数学方法来处理，而最常用的变换是差分变换。

对于序列，其一阶(向后)差分(first-order (backward) difference)定义为，这里。

二阶差分(second-order difference)定义为

类似地，p阶差分为：

s期滞后差分为：

显然，；对于常数c，。

相关概念

假定所讨论的函数都是无穷次可微分的实函数， ,令h表示函数自变量的最小增量，定义算子：

位移算子：

向前差分算子:

向后差分算子 :

中心差分算子：

平均算子：

这些算子都是线性的，因为下列等式对于任意的常数和函数皆成立：

任意两个线性算子P与Q的和、积、幂由下列等式定义：

，n个因子.

当对于一切函数皆成立时，两个算子P，Q为相等，即。

差分算子的若干性质

（1） (C为常数)；

（2）

（3）

应用举例

Taylor级数

利用算子，由通常的形式

得出

(1)

指数函数

等式(1)中方括号里的式子是算子hD的指数函数的幂级数展开式,由恒等式得到下列关系：

二项式定理

向前差分算子的二次幂：

即

使人想到二项式定理。由得，对于任意的幂次，有等式。

参考资料

最新修订时间：2022-09-21 09:43

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概述

基本概念