帕斯卡定理_射影几何中一个重要定理

帕斯卡定理

射影几何中一个重要定理

帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形（包括退化的六边形）其三对边的交点共线，与布里昂雄定理对偶，是帕普斯定理的推广。定理约于公元1639年为法国数学家布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal)所发现，被称为帕斯卡定理，是射影几何中的一个重要定理。

定理定义

如果一个六边形内接于一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上。

由于六边形的存在多种情况，帕斯卡定理的图形也存在多种，它们虽然看起来截然不同，但均为帕斯卡定理，证明它们的方法也是相同的

验证推导

可以利用射影变换，将圆锥曲线的命题转化为圆的命题

只需要证明圆的内接六边形ABCDEF三双对边的交点共线即可

帕斯卡定理的证法有许多种，在此只列举六种

证法1

面积法：

设AB交DE于G，BC交EF于I，CD交AF于H

连接GI，设AF交GI于H'(如图1中图1)，CD交GI于H''(如图1中图2)

要证G、I、H共线，只需证AF、CD、GI交于一点

只需证：，即证：

共边定理+共角定理可得：

命题得证

证法2

梅涅劳斯定理证法：

设AF、BC交于J，DE、AF交于K，DE、CB交于L

对△KLJ和截线AB、CD、EF分别应用梅涅劳斯定理得：

三式相乘得：

......(1)

圆幂定理得：

……(2)

……(3)

……(4)

将(2),(3),(4)式代入(1)得：

梅涅劳斯逆定理得：G、I、H共线，命题得证

证法3

位似证法：

作△CHF外接圆交EF于K、BC于J

∵∠DEF=∠DCF=∠HKF，∴GE∥HK

同理可得：HJ∥BG，BE∥KJ

∴△GEB与△HKJ位似

又位似三角形对应点的所在的直线交于一点

即GH、EK、BJ交于一点，此点为I

∴G、H、I共线，命题得证

证法4

角元塞瓦定理证法

利用角元塞瓦定理逆定理证明PR、EF、BC共点（下面推导省去∠符号）

我们有

（第二步为对△ADR用角元塞瓦定理）

因此PR、EF、BC共点，即P、Q、R共线。

证法5

射影证法

圆锥曲线（以椭圆为例）上六点A、B、C、D、E、F，AB∩DF=M，AC∩DE=N，CF∩BE=P，求证M、P、N共线

在异于题设所在平面的空间上任取一点作为射影中心，将AB、DE射影为一对平行直线；将AC、DF射影为一对平行直线，再将中心射影后图形中的椭圆仿射为圆O（如图2）

则由平行四边形AMDN及同弧圆周角性质知∠BAE=∠FDC，则CF=BE，根据同圆内等弦长对应等圆周角推导知BF//CE，则观察图2中两个绿色三角形笛沙格定理（逆）知M、P、N，则帕斯卡定理得证。

证法6

平行证法

圆锥曲线（以圆为例）上六点G、B、C、D、E、F，DE∩CF=H，BC∩DG=I，GF∩BE=J，求证H、I、J共线

如图3作辅助线，记三角形EHJ外接圆与本圆于K,易证HJ//DL//BN。

令HJ∩BC=I'，则由平行推知∠CI'H=∠CBN=∠CKN,即CHI'K共圆。同理令HJ∩DG=I''，则有KGI''J共圆。则∠HCI'+∠I''GL=∠HEJ=∠HEI'+∠I''EJ

故I=I'=I''，，则帕斯卡定理得证。

参考资料

最新修订时间：2023-04-09 15:32

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