带余除法就是带有余数的除法，被除数=除数×商+余数。带余除法主要指多项式的带余除法。
定理
多项式带余除法定理
任意非零多项式 除 ，其商式余式一定存在，且余式是惟一满足关系式 的零多项式，或次数小于 的一个多项式。
多项式除以多项式
多项式除以多项式一般用竖式进行演算
（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
（2）用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项；
（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来；
（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止。被除式=除式×商式+余式。如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除
例如：计算
解：
所以，， 其中，商式是，余式是
应用
顾名思义，辗转相除法就是反复进行带余除法。它以带余除法为基础，是用以求两个多项式 、 的最大公因式 的一种计算方法。
它的理论依据是：若 ，则有
例如，对于任意的整数 （ ），且 ，求 的最大公约数
， ， ，
余数定理
用一次多项式 去除多项式 ，即 ，其中
例：一个多项式 ，当它能被 除时余式为 3 ，被 除时余式为 ，则当 被 除时余式为何?
解：依题意，有：
(1)
(2)
把 代入(1) 式中， ，得
把余数定理逆过来用，当用 去除 时，由于 ，有 (3)
将(3)代入(1)中，
即 被 除余式为
整除性问题
理论依据是：
例：用带余除法求当 为何值时，
解：作带余除法。
除 的余式
故 且 ，解得：