平衡不完全区组设计(balanced incomplete block design)，简称BIBD，是一类重要的区组设计。若X为v元点集，居为X的一些k元子集组成的族(这些k元子集称为区组)，使得X中的任意点对恰好出现在几个区组中，则称区组设计为一个平衡不完全区组设计。

将v个水平安排到b个区组中，若满足以下几个条件，称为平衡区组设计：

（1）每个区组包含k个水平一区组大小；

（2）每个水平在r个区组中出现一水平重复数；

（3）每对水平在λ个区组中相遇一相遇数。

若k

参数

平衡不完全区组设计有五个参数：

（1）b：区组数；

（2）v：水平数；

（3）k：在每个区组中水平的个数；

（4）r：包含每个水平的区组的个数；

（5）λ：包含每对水平的区组的个数。

在这里我们称b、v、k、r、λ为BIBD的参数。

定义

定义：BIBD的关联矩阵为v x b阶的0-1阵：

关联矩阵有以下几个基本性质：

（1）A的每一行和为r；

（2）A的每一列和为k；

（3）A的任意两行的内积为λ。

BIBD各参数之间的关系及其性质

（1）定理1：在一个BIBD中，每个处理含于r个区组中，其中：

1）推论1：在BIBD中，有bk=vr。

证明：通过行来计算，BIBD的关联矩阵A中1的个数为6k。通过列来计算，则A中1的个数为vr。因为两种计数方法的结果相等，所以有bk=vr。

2）推论2：在BIBD中，有λ

证明：根据定义，在BIBD中，有k

（2）定理2：Fisher不等式：在一个BIBD中，b≥v。

（3）在一个BIBD中，有参数v=nk、b、r、k和λ，如果b>v+r-1，那么r≥λ+2k。反之也成立。

平衡不完全区组试验设计的特点

优点

（1）经济性：

全部试验水平可以不安排在同一个区组内进行，对区组的要求较低，经济的解决了试验成本。

（2）平衡性：

1)每个试验水平重复次数相同(r相同)；

2)每个区组包含的水平个数相同(k相同)；

3)任意两个水平对，在整个试验中出现的重复次数相同(λ相同)。

（3）灵活性：

可以根据k的大小，灵活、分散的进行试验。

（4）计算的严密性：

有严格的数学方法有效的消除系统误差，故试验精度高。

缺点

平衡不完全设计的缺点是：计算复杂。

参考资料

最新修订时间：2024-06-19 15:47