序数加法(addition of ordinals)是序数的一种运算，对任意序数α，β，γ，有：1.α+0=α；2.α+β+=(α+β)+；3.α+γ=sup{α+β|β<γ}，当γ是极限序数时。

序数的加法可以定义如下：若α,β为序数，γ为极限序数。

即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积和幂，以及相应的运算性质，如结合律等。

序数加法不满足交换律，如1+ω=ω+≠ω=ω+1。数加法有下列性质：对任意序数α，β，γ有：

1.α+(β+γ)=(α+β)+γ.

2.α+β=α+γβ=γ.

3.α+β<α+γβ<γ.

4.α<βα+γ≤β+γ.

5.α+γ<βγα<β.

如果一集合x的元素的元素也都还是x的元素，则称x为传递集。一个集合x是自然数：如果x是传递集，x的全体元素在∈下良序，而且x的每一非空子集对序∈而言有最大元。这样可以把自然数变成了在ZF内可以定义的一种性质，如把0定义作空集∅，1定义作0U{0}，2定义作1U{1}，……等等，则0，1，2，…，都是自然数，而且只有这些是自然数。

序数是自然数的推广。

“x是序数”是指如果集合x是传递集，而且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的集合，α,β∈On，α<β α∈β。这样，就用∈定义了序数间的<关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。

每一自然数都是序数，全体自然数也是序数。对任一集合x，令s(x)=xU{x}。则当x是序数时，s(x)亦为序数。一序数α称作后继序数：如果有一序数β，使α=s(β)。不是后继序数的序数称为极限序数。例如0，ω均为极限序数。

On虽为一真类，但具有性质：On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质妒，即可应用超限归纳原理：对于任给的一序数B，若每一比8小的序数a都具有性质妒则母亦具有性质9，那么对所有的序数都具有性质φ。

在定义序数运算（加、乘、幂）时，需要用超限递归定理：若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G(F↾α)。而这一定理的证明要用到代换公理。有了代换公理还可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1，2，3，…，0，-1，-2，…。从而全体整数就良序了，其序型即为ω+ω。

事实上，任一良序集<ω，<>，都有唯一的序数α使得<ω，<>序同构于<α，∈>。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下：若α,β为序数，γ为极限序数。

即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积和幂，以及相应的运算性质，如结合律等。