库拉托夫斯基闭包公理_集上的拓扑结构

库拉托夫斯基闭包公理

集上的拓扑结构

库拉托夫斯基闭包公理可来定义一个集上的拓扑结构。

介绍

库拉托夫斯基闭包公理可来定义一个集上的拓扑结构，它和以开集作定义拓朴结构的公理等价。

定义

拓朴空间是集合X及作用在X的幂集上的闭包算子:

闭包算子需符合以下条件：

如果不要求第二个公理即幂等公理，则剩下的公理定义了预闭包算子。

等价的证明

从由闭包算子定义的拓扑空间开始。A称为在是闭合的，若。亦即，X的闭集是闭包算子的不动点。

若称“开集”为其补集为闭集的集合，则所有开集会形成一个拓扑，证明如下：可知为闭集；由闭包算子的闭合性可知X为闭集。因此，X及（分别为及X的补集）为开集。令X的子集（其中为任意集合）皆为开集，由闭集的定义可知为开集。令X的子集A及B为开集，可知为开集。

相反地，由开集定义的拓扑也可推导至由闭包算子定义的拓扑空间。令外，也可得出下列等价的定义：

两个拓扑空间之间的函数

称为连续的，若对所有X的子集A'，

一个点称之为在内是接近A的，若。

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最新修订时间：2022-08-26 11:08

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等价的证明

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