庞特里亚金对偶定理_数学定理

庞特里亚金对偶定理

数学定理

庞特里亚金对偶定理（Pontryagin dualitytheorem）是关于局部紧交换群与其对偶群的同构定理。

简介

庞特里亚金对偶定理是关于局部紧交换群与其对偶群的同构定理。

定义

设G为局部紧交换群，Ĝ为G的对偶群。对x∈G，γ∈Ĝ记=γ(x)，则x可看做C上的特征标，从而有映射G→G:x→。

庞特里亚金对偶定理称：上述映射是拓扑群G到G上的同构。因此G等同于Ĝ，常记G=Ĝ。

应用

在数学上，特别是在调和分析与拓扑群的理论中，庞特里雅金对偶定理解释了傅里叶变换的一般性质。它统合了实数线上或有限阿贝尔群上的一些结果，如：

实数线上够“好”的复数值周期函数能表成傅里叶级数，反之也能从傅里叶级数推出原函数。

实数线上够“好”的复数值函数有傅里叶变换；一如周期函数，在此也能从其傅里叶变换反推出原函数。

有限阿贝尔群上的复数值函数有离散傅里叶变换，这是在对偶群上的函数。此外，也从离散傅里叶变换反推原函数。

局部紧交换群

(locally compact abelian group)

局部紧交换群是一类特殊的交换群。

设G是一个局部紧豪斯多夫空间，又是一个交换群，且映射是连续的，则称G为局部紧交换群，简称LCA群。

参考资料

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最新修订时间：2022-04-03 21:04

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