函数的延拓：设E与F为两个集合，P为E的
子集，而f为从P到F中的映射. 任一从E到F中的映射，如果它在P上的限制为f，则称该映射为f在E上的延拓。
函数的延拓
线性延拓
设f，g分别是定义在D(f)、D(g) E上的线性泛函，称f是g的一个线性延拓，如果
1）
2）
重要定理
定理1 设E为实线性空间，若在E的子空间E0上定义了一个线性泛函f0，满足
这里p(x)为E上一个次可加正齐性泛函，那么必存在一个定义在整个E上的线性泛函f，满足
1）
2）
定理2 设p(x)是复线性空间E上的对称非负值
次可加泛函，泛函f0是定义在E的线性子空间E0上的线性泛函，满足
那么，必存在一个定义在整个E上的线性泛函f，满足
1）
2）
定理3（Hahn-Banach）设E是
赋范线性空间，f0是定义在E的子空间E0上的有界线性泛函，那么，必存在E上的有界线性泛函f，满足
1）
2）
系1 设E是赋范线性空间，x0∈E，x≠0，则必存在E上的连续线性泛函f，使
系2 设E是赋范线性空间，x0∈E，如果对任何f∈E*都有则x0=0.
系3 设E0是赋范线性空间E的子空间，y0∈E，若那么必有 满足
1）
2）
3）
解的延拓
定义
由比卡定理得到的初值问题
解的存在区间一般较短，不能满足实际需要。下面我们反复使用解的存在唯一性定理，把存在区间加长。如果对于区域D⊂R2上的每一点，都有以它为中心且完全属于D的矩形区域R存在，使得f(x，y)在R上关于y满足李普希兹条件，则称f(x，y)在D上关于y满足局部李普希兹条件。设f(x，y)在区域D⊂R2上连续，且关于y满足局部李普希兹条件，由比卡定理，存在h>0，初值问题方程①在[x0-h，x0+h]上存在解y=y(x)。若(x0+h，y(x0+h)) ∈D，则又存在h1>0，使得方程①在[x0+h-h1，x0+h+h1]上存在解y=y1(x)。由解的唯一性，在[x0，x0+h]∩[x0+h-h1，x0+h+h1]上 y(x)≡y1(x)，于是在较长的区间上得到方程①的解。重复上述过程，就可以将解的存在区间不断向右加长。向左也是如此。这个过程叫做解的延拓。
不能继续延拓的解称为饱和解，饱和解的存在区间称为解的最大存在区间。如果最大存在区间包含端点，那么解仍可以按上述方法再延拓，因而最大存在区间一定是开区间，解的延拓定理给出了上述延拓的最终结果。设f(x，y)在区域D⊂R2上连续，且关于y满足局部李普希兹条件，则对于任意的(x0，y0)∈D，初值问题方程①的解y=y(x)的最大存在区间可能是[x0，+∞)或[x0，b)，式中b是有限数，且当x→b-0时，y=y(x)无界或 (x，y(x)) 趋于D的边界。向x0的左方延拓是完全类似的。
举例
例如，设f(x，y)及 在xoy平面上连续，对于任意的x0∈ (-∞，+∞)，y0∈(-a，a)，求方程dy /dx=(y2-a2)f(x，y)满足初值条件y(x0)=y0解的最大存在区间。显然y=±a是方程定义在 (-∞，+∞) 上的解。由解的存在唯一性，该问题的解y=y(x)不能穿过直线y=±a，只能位于带域|y|