数学中,
微分方程的弱解或广义解是指对该方程中的微分可能不存在,但是在某种精确定义的意义下满足该方程的解。
数学中,
微分方程的弱解或广义解是指对该方程中的微分可能不存在,但是在某种精确定义的意义下满足该方程的解。对于不同种类的微分方程,弱解的定义性质也可能不同。 一类最重要的弱解基于
广义函数的记号。
由于大量用于描述现实世界中现象的微分方程并不具有足够的光滑的解,从而求解此类方程只能使用弱形式。即使在方程确实具有可微解的情况下,首先证明弱解的存在性然后证明弱解足够光滑是方便的。
以上的陈述表明:如果u连续可微,方程 (1) 蕴含方程 (2)。弱解概念的关键在于存在函数u对任何φ满足方程 (2),而这样的u可能不可微,从而不满足方程 (1)。该方程的一个简单的例子是u(t,x) = |t−x| 。(容易证明u满足方程 (2).) 方程 (2) 的解u被称作方程 (1) 的弱解。
当求解关于u的偏微分方程时,可以利用所谓的
测试函数φ,使得方程中关于u的任意阶导数都转化为关于φ的分部积分,用这样的方法, 可以得到原方程的不必可微的解。
乘以
紧支集上的光滑测试函数φ,并作分部积分后,微分方程P(x, ∂)u(x) = 0 可以写作