形数，亦称拟形数、垛积数，是一种与图形有关的数。古希腊的毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究。形数就是指平面上各种规则点阵所对应的数， 是毕达哥拉斯学派最早研究的重要内容之一。

形数，亦称拟形数、垛积数，是一种与图形有关的数，古希腊毕达哥拉斯学派在研究数论时非常注意形与数的关系，形数便是数与形相结合的一种概念，他们用点子排成三角形、正方形、五边形……(图1、2、3)。

每个图形的点数分别称为三角形数、四边形数、五边形数……除三角形数外，其余的统称多角形数(简称多角数)，即满足递推关系

的数列 中的数。 的通项公式为

*在用r，s表达时，这个等式应是 ，其中 .

当 时，按图形每边点数递增排列分别得到：

三角数数列 ；

四角数数列 ；

五角数数列 ；

…………

一般地，当 时，可得k角形数的数列为 从图4可看出，从1开始连续奇数之和是一个平方数： ，做出平方数 后，再镶上一个磬折形(亦称曲尺形、拐尺形gnomon，此字来自伊奥尼亚学派)的边，其中点数是 ，就得出下一个平方数：

形数 称为磬折形数，又称曲尺形数、拐尺形数等，用点子排出五角数和六角数，每边点数为n(图5)，相应的磬折形(推广)数是 和 ，对三角数来说，磬折形(推广，只是一条边，对n阶三角数，边中点数是 )数是 。将磬折形数按所对应的多角数种类及多角数每边点数排列起来形成磬折形数数列。三角数、四角数、五角数、六角数……的磬折形(推广)数数列是：{2，3，4，5，…}，{3，5，7，9，…}，{4，7，10，13，…}，{5，9，13，17，…}，…，即分别由2，3，4，5，…开始，以1，2，3，4，…为公差的等差数列，n角数所对应的磬折形(推广)数数列是 ，其中 ，因此，可计算出n角数的第r个数 ，人们称r为阶数。上表是计算结果及公式，古希腊人已得出有关多角形数的一些定理(由几何方法证明)：

1.任一平方数都是二相继三角形数之和，即

2.从1开始，任意n个从1开始的奇数之和是完全平方数，即 。

3.一个五角形数可表为同阶四角形数与前一阶三角形数之和： 。

4.首项为 ，公差为 的等差数列 是 角形数的导出数列，称为k阶多角形数的导数列，导数列的公差为1，2，3，…，可分别导出三角数数列、四角数数列、五角数数列……导数列的公差为k时，可导出 角形数。

1636年，费马(P.de.Fermat)提出：每一正整数可以用m个m阶多角形数之和来表示，但未给出证明。1798年，勒让德(A.-M.Legendre)证明了 的情形；1772年，拉格朗日(J.-L.Lagrange)证明了 的情形；1813年，柯西(A.-L.Cauchy)证明了一般情形。除了多角数外，毕达哥拉斯学派还研究了立方数、棱锥数(图6)及形如 的长方数(图7)，并发现立方数与三角数有联系：从1开始的连续r个立方数之和必等于第r个三角数的平方，即