微分拓扑学是研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。研究的基本对象是微分流形或带边的微分流形以及这样的流形之间的可微映射。

微分拓扑学是研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。

微分流形除了是拓扑流形外，还有一个微分结构。因此，对于从一个微分流形到另一个微分流形的映射，不仅可以谈论它是否为连续，还可以谈论它是否可微分。

微分拓扑的奠基人是H.惠特尼，他研究的主要课题有微分同胚、微分浸入、微分嵌入、协边理论等。

微分拓扑学早期的研究可以追溯到拉格朗日（J.L.Langrange）、黎曼（B.Riemann）.庞加莱（H.Poincare）的不同时期。但由于数学工具的限制，相当长一段时间微分流形的研究未取得突破性进展。直到惠特尼（H.Whitney）1935年给出了微分流形的一般定义并证明它总能嵌入到高维欧几里得空间作为子流形，以及凯恩斯（S.S.Cairns）证明了微分流形的可剖分性，才使对其的研究重新兴起。触发了莫尔斯理论的产生，奇点理论这一分支的诞生。

伴随着代数拓扑学中同调及上同调理论、纤维丛理论、示性类理论以及同伦伦的研究进展，1953年托姆（R.Thom）建立了协边理论，开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，使得许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。

1956年米尔诺（J.W.Milnor）发现7维球面上除了通常的微分结构之外.还有不同寻常的微分结构。随后，凯瓦雷（M.A.Kervaire）构造出了不能赋以任何微分结构的流形。这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支，并进入20世纪数学发展的主流。

1960年斯梅尔（S.Smale）证明了5维以上微分流形的庞加莱猜想。米尔诺（J.W.Milnor）等发展了处理微分流形的基本方法一一剜补术，导致手术理论的产生，使得5维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。

近30多年以来，在微分流形的研究中，突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：弗里德曼（M.H.Freedman）证明了四维庞加莱猜想，以及4维欧几里得空间及4维流形上有不同寻常的微分结构的发现等。2003年佩雷尔曼（G.Perelman）宣布证明了三维庞加莱猜想。

微分流形M和N叫做是微分同胚的，如果存在M和N之间的一一对应ƒ:M→N，使得ƒ和它的逆映射ƒ-1：N→M都是可微映射。在微分拓扑中，彼此微分同胚的流形被看作是等价的。把等价的微分流形看作属于同一类。对微分流形进行分类是微分拓扑最基本的问题。

如果ƒ和ƒ-1仅仅是连续的，不一定可微，则M和N叫做是同胚的（亦即拓扑上等价的）。同胚的微分流形未必微分同胚。例如，用S7表示七维球面，即八维欧氏空间R8中所有单位向量构成的流形，则S7可被赋以不同的微分结构，使所得的微分流形是不微分同胚的。已经算出，与S7同胚的微分流形，按微

分同胚来分类，一共有28类，当n≥5时，与Sn同胚的微分流形的等价类的数目，已被证明是有限的，且对5≤n≤18，类数均已被算出（见表）。

以Rm表示m维欧氏空间。当m≠4时，不论以何种方式给Rm赋以微分结构，所得的微分流形总是微分同胚的。有一个很有意思的事实是，对R4可赋以不同的微分结构，使所得的微分流形是不微分同胚的。当n=1、2、3时，任意n维拓扑流形上必可赋以微分结构，且由同一拓扑流形赋以不同的微分结构所得的微分流形必微分同胚。因此，对一、二、三维流形，按微分同胚来分类和按同胚来分类是一样的。

一维流形的分类很简单。它们必同胚于开区间（0，1），闭区间[0，1]，半开半闭区间[0，1）和圆周S1中的一个，且这四个流形必不同胚。二维紧致无边流形的分类早已被解决，而三维紧致无边流形的分类问题是很困难的，尚未解决。

设ƒ:M→N是微分映射，如果ƒ（M）是N的微分子流形，并且ƒ:M→ƒ（M）是微分同胚，则称ƒ为微分嵌入。微分嵌入一定是微分浸入。两个微分嵌入叫做是正则同痕的，如果存在连接它们的正则同伦Ht，使对每一固定的t∈[0，1]，Ht是微分嵌入。

关于微分嵌入的一个经典结果是：任意n维微分流形可微分嵌入于2n维欧氏空间中。n≠1，4时，已证明任意n维可定向的紧致无边微分流形可微分嵌入于R中，n=4时，可微分嵌入的充分必要条件已发现。

关于S1在R3中的微分嵌入按正则同痕分类的问题是很复杂的，已成为一个独立的研究分支，称为纽结理论，它密切地关联于三维流形的同胚分类问题。与S1在R3中的微分嵌入有无穷多个正则同痕类相反，吴文俊证明了：若n>1，则任意n维微分流形在R中的任意两个微分嵌入都是正则同痕的。

当n>3（k+1）/2时，k维微分流形到n维微分流形的微分嵌入的存在和正则同痕分类的问题已被化成同伦论问题，且已证明当k和n满足上述关系时，S在Rn中的任意两个微分嵌入都是正则同痕的，但S在R中的微分嵌入的正则同痕类却与整数全体一一对应。

两个n维的紧致无边微分流形M和N叫做是协边的，如果存在一个n+1维的紧致微分流形W，W的边界恰由M和N组成。把两个协边的微分流形看成属于同一协边类，则按协边关系来分类紧致无边微分流形比按微分同胚来分类它们要粗略，因为任意两个微分同胚的紧致无边微分流形必是协边的。与按微分同胚的精细分类问题至今未能解决形成鲜明对照的是，按协边关系的粗略分类问题虽非容易，但却已彻底解决。二维（或三维）的可定向紧致无边微分流形都是协边的，虽然未必微分同胚。实投影平面与二维球面是不协边的。

上述协边理论有很多推广，如可定向流形的协边论，映射的协边论，稳定切丛有复结构的流形的协边论，稳定切丛有标架的流形的协边论等等。其中标架协边论与球的同伦群的研究有着互逆的关系，仍是拓扑学中重要的难题。

微分拓扑虽是不同于代数拓扑的一个独立的数学分支，但它与代数拓扑的关系极为密切。解决微分拓扑问题的许多基本工具，例如同调群、同伦群、拓扑K-理论以及多种示性类等代数不变量都是从代数拓扑中借用过来的。

基于莫尔斯函数的临界点理论的流形剜补术则是首先对微分流形发展起来的，然后被推广至拓扑流形的情形。拓扑流形的剜补术在解决四维庞加莱猜想时发挥了作用。可见两者互相渗透、互相促进。