群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。商空间是一个线性空间模一个子空间所得的线性空间。

德拉姆上同调群(de Rham cohomology group)是闭形式空间关于正合形式空间的商空间。设M是微分流形，称闭p形式的实向量空间关于正合p形式子空间的商空间：={闭p形式}/{正合p形式}为M的p维德拉姆上同调群。

这是1930年由乔治·德拉姆给出的，他建立了微分流形的微分结构与拓扑结构的一个重要关系。

设f：M→N是C映射，则有代数同态δf：E*(N)→E*(M)，δf与d可交换，从而诱导出一个同态f*：HdeR(N)→HdeR(M)，且对另一个C映射g：N→X有(g°f)*=f*°g*，(id)*=id。若f：M→N是一个微分同胚，则诱导出的同态f*是同构。这就表明德拉姆上同调群是微分流形的微分拓扑不变量。可以证明，若M是紧致流形，则HdeR(M)是有限维的，其维数等于M的第p个贝蒂数bp。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗瓦在1830年首先提出的。

设M是仿紧豪斯多夫空间，且是拓扑流形，称A= {(Uα，Фα)|α∈P}是它的地图，如果{Uα|α∈P}是M的开覆盖，Фα是从Uα到n维欧氏空间R的某开集上的同胚。(Uα，Φα)称为坐标卡。如果两个坐标卡 (Uα，Фα)，(Uβ，Φβ) 满足Uα∩Uβ≠Φ，则称Φβ·Фα：Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ： Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 为Uα∩Uβ上的坐标变换。如果A的所有坐标变换都是C可微的，则称A为一个C地图，其中1≤r≤∞。r也可等于ω，此时A称为解析地图。拓扑流形M的坐标卡 (U，Φ) 称为与A是Cr相容的，如果任意(Uα，Φα) ∈A，坐标变换Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓扑流形M的C地图A称为最大的，如果它包含M的所有与之C相容的坐标卡。M上的最大C地图A称为M的C微分结构。(M，A)称为C微分流形，或简称为C流形。当r=∞时，C微分结构也称为光滑结构，C流形也称为光滑流形。r=ω时，C结构也称为解析结构，C流形称为解析流形。C流形(M，A)有时也简记为M。

从直观上看，拓扑流形是局部欧氏空间，局部之间用同胚映射(坐标变换)粘贴在一起。n维C流形，不仅局部同胚于n维欧氏空间，而且局部之间是用C光滑、且其逆也C光滑的坐标变换粘贴在一起。

两个C流形M和N，f：M→N是连续映射，且任一点P∈M，有包含P点的M中的坐标卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐标卡(V，φ)，使得f(U)⊂V，同时，映射φ°f°Φ-1：Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，则称f是C映射。C映射也称为光滑映射，C映射也称为解析映射。其中称为f的局部表示。

C流形M和N之间的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，则称f是C微分同胚。

设K为交换体。称赋以由下列两个给定法则所定义的代数结构的集合E为K上的向量空间：

——记为加法的合成法则，

——记为乘法的作用法则，即从K×E到E中的映射，

这两个法则满足下列条件：

a)赋以加法的集合E是交换群；

b) 对K的任一元素偶(α，β)，以及对E的任一元素x，

α(βx)=(αβ)x;

c) 对E的任一向量x，1x=x，其中1表示体K的单位元素;

d)对K的任一元素偶(α，β)，以及对E的任一元素偶(x，y)，

(α+β)x=αx+βx

α(x+y)=αx+αy.

当体K不再假定为交换的时，满足上述条件的集合E称为K上的左向量空间.

如果条件：

α(βx)=(αβ)x

换为：α(βx)=(βα)x，

则称E为K上的右向量空间。在这种情况下，E上的作用法则记为：

例如，设K为交换体，而E为只有一个记为0的元素的集合。E赋以两个法则：

(0，0)↦0，(α， 0)↦0

则E为K上的向量空间。

设A为非空集合，F为交换体K上的向量空间. 赋予从A到F中的全体映射之集F=ℱ(A，F)以下两个法则：

——给定从A到F中的映射f与g，映射f+g使A的任一元素x对应元素f(x)+g(x)；

——给定K的元素a和从A到F中映射f，映射αf使A的任一元素x对应F的元素αf(x)。

则ℱ(A， F)为一向量空间，很自然地称之为从A到F中的全体映射之向量空间。

当A为自然数集N的区间[1，n]，而F=K时，向量空间ℱ(A，F)就是向量空间Kn。

商空间是一个线性空间模一个子空间所得的线性空间。设V是域P上的线性空间，W是V的子空间，对V中每一元α，定义α+W={α+β|β∈W}，设V-={α+W|α∈V}，利用V的加法及P与V的纯量乘法，可以在V-内引入如下的加法及P与V-的纯量乘法：

(α+W)+(β+W)=(α+β)+W，

k(α+W)=kα+W (k∈P)。

这样的定义是完全确定的，而且V-关于这样定义的运算构成域P上的一个线性空间，称为V对子空间W的商空间，记为V/W。例如，若V是P上5维线性空间，α1，α2，α3，α4，α5是基，W是由α1，α2生成的子空间，则V/W是由三个元素α3+W，α4+W，α5+W生成的商空间，而且这三个元素正好是V/W的基。一般地，若dim V/W有限，则称其为W关于V的余维数，记为Codim W。