托勒密定理
数学几何学术语
托勒密定理是关于圆内接四边形的一条重要定理。定理指出，对于一个内接圆的四边形，四边形的对角线乘积等于两组对边乘积之和。
定理内容
圆的内接四边形对角线乘积等于两组对边乘积之和。
如图，四边形ABCD是圆内接四边形，则有：
定理证明
构造相似三角形证明
证明：在线段上取点M使得，连接BM。
由同弧所对的圆周角相等可知，，因而有。
可知，则同理可知，故而
（1）式与（2）式相加即可得
定理得证。
面积法证明
过点A作BD的平行线与圆相交于点E，连接线段AE，BE，DE。
由可知四边形ABDE是等腰梯形，则有AB=ED，AD=BE，，。
故而有面积关系。
而
则由两四边形面积相等可得
定理得证。
余弦定理证明
设AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，AC=m，BD=n，。
由和内余弦定理可知
从而有
同理有
相乘即可得，定理得证。
相关定理
托勒密定理的逆定理
在凸四边形ABCD中，若，则A，B，C，D四点共圆。
更一般的，对于任意凸四边形ABCD都满足关系，当且仅当A，B，C，D四点共圆时等号成立。这个不等式又叫作托勒密不等式。
三弦定理
对于圆上一点A和顺次的三条弦AB，AC，AD，有关系
四角定理
四边形ABDE内接于圆，则有关系
定理应用
例1 等边三角形ABC内接于圆。求证：对于上任意一点P，均有AP=BP+CP。
解 由托勒密定理可知
等边三角形中存在，故有
原命题得证。
例2 中有，求证：。
解 作的外接圆，并在圆上取点P使得AP=AC=b，连接PA，PB，PC。
由角度关系，，可知，故PC=BC=a。
同理有PB=AB=c。
由托勒密定理
可得
原命题得证。
例3 在凸四边形ABCD中，。则当变化时，求BD长度的最大值。
解 令，则由可知。
由托勒密不等式可知
即得。故而BD长度的最大值为，当且仅当A，B，C，D四点共圆，即时可以取到。
参考资料
最新修订时间：2025-03-24 16:19
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定理证明
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