域是代数学的基本概念之一。即具有两个运算的代数系。设F是至少含两个元的集合，在F中定义了两个二元运算：一个称加法，使F成为加群，它的单位元称为F的零元；一个称乘法，使F的非零元构成一个交换群，加法与乘法满足分配律，此时称F为域。

拟代数闭域(quasi-algebraically closed field)是一类特殊的域。C1域的旧称，始用于20世纪30年代。这个名称的涵义可由下述事实认知：拟代数闭域的任何代数扩张仍为拟代数闭域。有限域是拟代数闭域(谢瓦莱定理)。代数闭域上的单元代数函数域是拟代数闭域(曾炯之定理，简称曾定理)。

域是代数学的基本概念之一。即具有两个运算的代数系。设F是至少含两个元的集合，在F中定义了两个二元运算：一个称加法，使F成为加群，它的单位元称为F的零元；一个称乘法，使F的非零元构成一个交换群，加法与乘法满足分配律，此时称F为域。例如，全体有理数、全体实数和全体复数在通常的加法与乘法下都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域。域是许多数学分支研究的基础，尤其对代数、代数数论、代数几何等更为重要。可交换的除环叫做域，它是代数学的基本概念之一。

域的概念在19世纪代数学的发展中逐步形成并明确起来。在伽罗瓦的著作中就包含了域的概念，他的域就是由方程的系数生成的域，他的扩域是经添加方程的一个根作成的。在拉格朗日关于群论的论文和高斯关于数论的论文中也有了域的思想。域的概念是在克罗内克和戴德金关于代数数的论文中，从不同角度引入的。戴德金把他所引入的域的概念最初称为“有理区域”，他关于域的理论发表在对狄利克雷《数论讲义》一书所作的评注和附录中。他在那里从本质上补充并扩展了数论、理想论和有限域论。“域”这个术语首次出现在该书1871年的版本中。在19世纪，已经知道的具体的域有：有理数域、实数域、复数域、代数数域和有理函数域。1908年，德国数学家亨泽尔又引进了一类p-进域，并进行了系统研究。

域的抽象理论开始于德国数学家韦伯的工作。1893年他曾给伽罗瓦理论以抽象的阐述，其中引进域的概念作为群的派生，并强调群和域是代数的两个主要概念。1903年美国数学家迪克森和亨廷顿建立了一个独立的域的公理体系。

德国数学家施泰尼茨在韦伯的工作的影响下，对抽象域进行了综合研究。按照他的观点，每一个域都可以从它的素域(所有子域的公共元素所构成的子域)出发，经过适当的添加而得到。由此引进了代数扩张和域的特征的概念。他还研究了伽罗瓦方程理论在域中的有效性问题。他的研究成果都包含在他写于1910年的论文《域的代数理论》中。

19世纪末到20世纪初，美国数学家得到有限域的一些结果，如有限抽象域都与某一个伽罗瓦域同构(穆尔，1893);任何有限域必须是交换的(韦德伯恩、迪克森，1905)等等。

20世纪以来，对抽象域的研究又有新的进展，中国数学家曾炯之做出了一定贡献。

实闭域是一类重要的实域。设F是一个实域，若F的任何真代数扩张都不再是实域，则称F是实闭的，或者F是一个实闭域。实闭域的例子很多，最常见的是：实数域R；由所有实代数数所成的域RAlg。实闭域只有惟一的序>，它由a>0当且仅当a=b所确定，换言之，它的惟一的正锥是由所有平方元所组成。在实闭域上，任何一元多项式都能表为一次与二次不可约因式之积。实闭域与代数闭域间的紧密关系，可以从下面的事实认知：设Ω是一个代数闭域，F是它的真子域。若Ω/F是有限扩张，则F是实闭域，并且有Ω=F()。实闭域还有一个重要性质：任何一条初等的代数命题，若在某一个实闭域上成立，则必然在所有的实闭域上成立。这个结论被称为塔尔斯基(Tarski，A.)原则(或定理)。根据这个原则，凡在实数域R上成立的初等代数命题，在任何实闭域上也成立。

代数闭域是一类重要的域。指次数大于1的多项式均可分解的域。若域K上多项式环K[x]中的每一个次数大于零的多项式在K中都有一个根，则称K为代数闭域。从而在K[x]中每个次数大于零的多项式能分解为一次因式之积。1910年，施泰尼茨(Steinitz，E.)在他发表的基本论文中首先证明：每个域都可以经代数扩张得到一个代数闭域。

域的扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：

f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)

的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且：

g(α1，α2，…，αn)≠0.

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域.这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

代数扩张是一类重要的域扩张。设E是F的扩域，若E中元皆为F上的代数元，则称此域扩张为代数扩张，E称为F的代数扩域，否则称为超越扩张，而E称为F的超越扩域.代数扩张具有传递性。当α是F上代数元时，其单代数扩域F(α)同构于F[x]/(p(x))，p(x)是α的最小多项式，(p(x))表F[x]中由p(x)生成的主理想。