指数型二分性(exponential dichotomy and spectrum)是关于线性微分方程的一种重要性质。指数型二分性理论是线性自治方程的双曲率概念在线性非自治方程中的推广，并且在非自治方程分析中占有重要的地位。线性微分方程的指数型二分性理论最早可以追溯至Perron利用指数型二分性研究了线性微分方程的稳定性和非线性微分方程有界解的存在性。1934年，Li建立了线性差分方程上指数型二分性理论。指数型二分性理论已经在微分方程和差分方程定性与稳定性研究中发挥着重要的作用，并以其丰富的理论思想和复杂的数学技巧应用到数学的各个研究领域之中。

指数型二分性是关于线性微分方程的一种重要性质。设齐次线性微分方程系

在 上连续，其中 是 阶方阵，如果存在投影 及正的常数 使

其中 是(1)的基本解方阵，则称(1)在R上具有指数型二分性。全轴上线性系统的指数型二分性在稳定性理论中是一种有力的工具，在概周期微分方程系的研究中也是非常有用的工具，如果 是概周期方阵， 是概周期向量，且(1)具有指数型二分性，那么，非齐次线性概周期方程系

存在惟一概周期解，它可表达为

且 ，同时

考虑线性非自治时标动力学方程

其中， 。

现在给出线性非自治时标动力学方程上指数型二分性的概念。

定义1 若存在投影 和正常数 使得对于(2)的基解矩阵 满足

则称(2)在 上具有指数型二分性，如果(2)中 ，则称(2)在 上具有通常二分性。

注记1 若令 ，定义1与经典的线性微分方程上指数型二分性概念相一致，若令 ，则能够转化为线性差分方程上指数型二分性，即

注记2 若选择一个恰当的基解矩阵，则投影 和 能够分别写成下面的形式

这里， 是一个 阶单位矩阵， 是一个 阶单位矩阵。实际上，一定存在一个非奇异的矩阵T使得 ，那么(3)变为下面的形式

设 ，显然有 也是一个基解矩阵。

注记3 若 ，则对于任意的 且 ， 是一个严格增函数且 ，而 是一个严格的减函数且 。因而对于 ，有

下面主要介绍线性非自治时标动力学方程上指数型二分性的一‘些基本性质。

指数型二分性存在的充要条件

定理1线性非自治时标方程(2)具有指数型二分性的充要条件是 是一致有界的且存在正常数 使得对于任意 ，有

定理2 假设下面的条件成立：

(i) 存在正常数 使得对于任意 有

(ii) (2)是有界增长的，即存在正常数 使得

则(2)在 上具有指数型二分性。

引理1 若(2)在 上具有指数型二分性，其中 ，则(2)在 上具有指数型二分性且具有相同的投影P和指数估计 。

定理3 假设 是有界的，(2)在 上满足指数型二分性的充要条件是存在正常数 使得(2)的任意一个解对于 满足