指数族分布
统计学术语
指数族分布(exponential family of distributions)亦称指数型分布族,是统计中最重要的参数分布族,包含了二项分布正态分布等。
基本介绍
借助指数族分布,对响应变量Y的描述将不再局限于正态分布,称观测来自指数族分布,如果其概率密度函数可以表达为如下典型形式:
其中:
(1) 是指数族的自然参数(natural parameter),是我们感兴趣的参数;称为尺度参数或讨厌参数;
(2) 以及是依据不同指数族而确定的函数。注意只由和决定。
指数族的均值和方差
指数族的均值方差都有简洁的表达式。由于
因此可知随机变量的均值为
此外,由于
可以得到方差公式
常见指数族分布
指数族包含了很多常用的概率分布。例如,正态分布的密度函数为
上式可以化为(1)式的形式
对应于(1)式,我们有。由此可见,正态分布属于(1)式所定义的概率指数族。
同样的,Bernoulli分布也属于指数族,这是因为它的概率密度函数
可以化为
再令可得
对应于(1)式,我们有。
此外,泊松分布的密度函数为
伽马分布的密度函数为
泊松分布伽马分布都属于指数族,下表总结了所有的指数族分布。
参考资料
最新修订时间:2023-09-10 16:45
目录
概述
基本介绍
指数族的均值和方差
常见指数族分布
参考资料