在人们的日常生活中常常会碰到拥挤和排队现象。去医院看病、在邮局营业窗口等候服务等，这是有形排队。
1．排队系统的描述
一个排队系统可以描述为：顾客为谋求服务而到达，如果前面已经有顾客到达，不能立即进入服务时，就需要排队等待，接受服务，完毕后离开系统，如图2.4所示。
排队系统的基本特征有：顾客到达模型、服务员的服务模型、排队规则、系统容量、服务窗口数、服务级数。在大多数情况下，利用这6个基本特征可以令人满意地描述出一个排队系统。
（1）顾客到达模型
顾客到达模型或排队系统的输入，通常用单位时间顾客到达的平均数(平均到达率)或相继到达的顾客之间的平均时间(平均间隔时间)来表示。由于这两个量很显然是相关的，因此，只需其中之一就可描述排队系统的输入。
（2）服务员的服务模型
服务员的服务模型，在系统为非空闲的条件下，可用服务率和服务时间来表示，前者为单位时间服务完的顾客数，后者则为服务一个顾客所需的时间。
（3）排队规则
排队规则是队列形成后，系统挑选顾客进入服务的方式。一般有非优先权方式和优先权方式两种。非优先权中又有先到先服务，后到先服务及随机服务三种，而优先权方式则又有中断优先权方式和非中断优先权方式两种。
所谓中断优先权方式为：较高优先级的顾客进入系统时，可以中断为较低优先级顾客进行的服务，立即进入服务设施，接受服务；服务完成后，重新恢复被中断的服务。非中断优先权的方式，则必须等正在服务的顾客，服务完毕后，才能进入服务设施，接受服务。
优先级可以是大于1的任何正整数。如果在系统中同时有一个以上的顾客同属一个优先级，那么还必须规定同级顾客的选择原则。这可以是先到先服务，后到先服务和随机服务中的任何一种。
（4）系统容量
系统容量即系统中可容纳的顾客数，包括正在服务的顾客和队列中的顾客。系统容量有限的排队系统为有限排队系统，否则为无限排队系统。
在有限排队系统中，最大的排队长度为系统容量减去服务窗口数。如果系统容量等于服务窗口数，即最大排队长度为0，则该系统称为损失制服务系统。在目前的电话接续系统中，一般利用这种方法，即在用户呼叫时如无通话电路可用，给主叫送忙音，主叫挂机退出。
（5）服务窗口数
如果只有一个服务窗口，则为单通道排队系统，否则为多通道排队系统。
（6）服务的级数
服务可以是多级的，在多级排队系统中，服务甚至可以带循环，这种情况可在机械制造过程中出现。如果只有一级服务，则为单级排队系统。这里我们只介绍单级服务系统。
2．服务系统的运行指标
用作评价服务质量的服务系统主要运行指标有三个。
（1）顾客等待时间W
式中Wq为顾客在队列中等待的时间，Ws为顾客接受服务的时间。
（2）系统中的顾客数L
式中Lq为队列中的顾客数，Ls为正在接受服务的顾客数。
（3）服务员的空闲时间，即出现顾客数小于服务窗口数的时间
3．排队系统的表示方法
人们为方便起见，通常采用符号来表示一种排队系统。常用的表示方法为：
X/Y/Z
其中X为顾客到达间隔时间的分布，Y为服务时间分布，Z为服务窗口数。系统容量有限的排队系统，可在其后加括号表示系统容量。
X/Y/Z(n)
表示顾客到达间隔时间分布和服务时间分布的符号有：M为泊松分布或负指数时间分布；D为定长分布，Ek为k阶爱尔兰分布；G为一般随机分布。
因此，M/M/1表示顾客到达时间间隔和服务时间均为泊松分布，单窗口，系统容量无限的排队系统。而M/M/m(n)则为顾客到达时间间隔和服务时间为泊松分布，m个窗口，系统容量为n(n≥m)。当n=m时，即M/M/m(m)系统容量等于窗口数。当系统中的顾客数等于窗口数时，新到的顾客就会遭到拒绝。电话通信网中，一般采用的就是这种损失制服务系统。
4．顾客到达时间间隔和服务时间的统计分布
（1）泊松分布
到达某系统的顾客数是一种统计数量(整数)的随机过程，又称计数过程。计数过程{N(t),t≥0}中，N(t)表示t时刻前产生事件的数量。N(t)的取值为非负整数。这里所谓“事件产生”可以是到达一位顾客，事故发生等物理现象。N(t)=i表示在t时刻前产生i次顾客到达或i次事故等。用P{N(t)=i}表示它的概率。
计数过程是一个递增过程，对于任意时刻t1
① 定常泊松分布
在常见的排队系统中，对顾客到达过程一般作如下假设
a．N(0)=0
即t=0时刻时，系统内无到达顾客
b．{N(t),t≥0}，具有定常独立增量条件
即顾客到达是独立的，而且是定常的，也就是不管在什么时刻顾客到达法则都是相同的。某顾客到达与否与其他顾客到达是独立无关的。
c．P{N(Δt)≥2}>O(Δt)
当Δt为非常小的时间间隔时，在Δt中存在两个以上顾客到达的概率可以忽略不计。这称为流的普通性。
d．P{N(Δt)=1}=λΔt+O(Δt)
当Δt为非常小的时间间隔时，在Δt中到达一个顾客的概率与Δt成正比，比例系数为λ。
其中λ为单位时间内顾客到达率，是大于零的常数，Δt是一个增量元素。O(Δt)表示随着t→0，和Δt相比是可以忽略不计的一个高阶无穷小量。
服务模型能满足以上四个条件，即称该随机过程为满足泊松分布的随机过程，其数学分析就变得十分简单。
假设该随机过程至时刻t期间内产生的事件数或该期间内到达系统的顾客数恰为n的概率Pn(t)，则可以求得并用数学归纳法证明：
定理： 泊松过程顾客到达时间间隔Xk(k=1,2,……)是独立的，都服从相同的指数分布，其参数为λ(均值为1/λ)。
也就是说泊松过程的顾客到达时间间隔服从指数分布，指数分布是一种应用很广的分布。例如系统的可靠率R就服从指数分布规律。
泊松过程具有定常独立增量性质是理想化的条件，它可以简化数学分析，在很多情况下得到应用。例如在网络流量分析时，信息的到达很接近定常泊松分布，用泊松分布来近似表示信息的到达可以大大简化分析的过程，而结果仍有参考价值。
② 非定常泊松分布
在实际问题中也有一些服务系统不具有定常增量的条件，如上网的客户必然是傍晚多，而清晨少。
如果把泊松过程中的定常增量条件限制去除的话，则称这类计数随机过程为非定常泊松过程。其定义如下：
计数过程{N(t),t≥0}满足以下四个条件时，称该计数过程为非定常泊松过程。
a．N(0)=0
b．{N(t),t≥0}具有独立增量性质
c．P{N(t+Δt)－N(t)≥2}=O(Δt)
d．P{N(t+Δt)－N(t)=1}=λ(t)Δt+O(Δt)
其中λ(t)>0，为非定常泊松过程分布的强度函数。
（2）爱尔兰分布
现实问题中，顾客到达时间间隔不完全服从指数分布的情况还是比较多的，指数分布的密度函数f(t)为λe－λt。它为一递减函数，最大值位于x=0处，即λ，如图2.5所示。但是，实际问题中，t=0处的概率密度往往是小的。大多数场合，密度函数的最大值应该在t=a的附近，a为某一正数，如图2.6所示。
k阶爱尔兰分布就是具有指数分布性质，而密度函数的最大值却在x=a附近的一种分布律。