整函数 （integral function /entire function），意思是在整个复平面上处处解析的函数。

整函数总可以在原点展开成泰勒级数，它在全平面收敛，整函数以∞点为唯一的孤立奇点，它在∞点的罗朗展式与它在原点的泰勒展式有一样的形式。当∞点是整函数的可去奇点时，这个整函数只能是常数，这就是著名的刘维尔定理，通常表述为“有界整函数必为常数”。

刘维尔（Liouville）定理

若f(z)在全平面C上全纯且有界，则f为常数。

证明

若|f(z)|≤M，当z∈C。固定a∈C，作D(a,R)，由柯西不等式得到|f'(a)|≤M/R。令R→∞，得到f'(a)=0。由于a为C中任意一点，故f'(z)=0对任意z∈C都成立，因此f(z)在C上为常数。

利用这一定理可以得到代数基本定理的简单证明。当∞点是整函数的n阶极点时，这个整函数是一个n次多项式 ，也就是它的泰勒展式（或罗朗展式）只有有限多项。当∞点是整函数的本性奇点时，这个整函数的泰勒展式一定有无限多项，这类整函数称为超越整函数。由代数基本定理知道n次多项式一定有n个零点(也就是根)，它总可以分解为n个一次因式的积，对于超越整函数，它可能有无限多个零点 ，比如sin(πz)就以全体整数为其零点集，也有的超越整函数没有零点，如ez就处处不为零，一般来说，没有零点的超越整函数总可以表成eg(z)的形式，此处g(z)也是一个整函数，而有无限多个零点的超越整函数f(z)也有一个因子分解式 ；形如

其中g(z)是整函数，0是m阶零点，zk是非零零点集， 是 的多项式，这是魏尔斯托拉斯因子分解定理。超越整函数还有一个重要性质：若f(z)是超越整函数，则对任意复数A（包括A=∞），存在点列{zK}，使zk→∞（k→∞）而有f(zk)→A。

这一结果有一个更精确的发展：对超越整函数f(z)，最多除去一个值（称为例外值）外，对所有其他的复数v值（v≠∞），f(z)-v都有无穷多个零点（毕卡定理）。

若f(z)为一整函数，则

（1）z=∞为f(z)的可去奇点的充要条件为：f(z)=常数C。

（2）z=∞为f(z)的m阶极点的充要条件为：f(z)是一个m次多项式c0+c1z+…+cmzm(cm≠0)。

（3）z=∞为f(z)的本质奇点的充要条件为：展式有无穷多个cn不等于零。