整闭整环(integrally closed domain)亦称正规环,是刻画
戴德金整环的重要概念,若整环R在它的商域中整闭,称R为整闭整环。例如,单一分解环、赋值环均是整闭整环,整闭性是局部性质。
定义
一个
整环叫作整闭整环,如果它在它的分式域中是整闭的。
例子
例如,是整闭的,任何唯一因子分解整环都是整闭的,特别,域上的多项式环是整闭的。
基本介绍
命题1令是环,在上整。
i) 如果b是B的理想,,那么在上整。
ii) 如果S是A的乘法封闭子集,那么在上整。
命题(1)的ii)可以加强为:
命题2 令是环,C是A在B中的整闭包,令S是A的一个乘法封闭子集,那么是在中的整闭包。
相关性质
整闭性是局部性质:
命题3 令A是一个整环,那么下列断言是等价的:
i) A是整闭的;
ii) 对每个素理想是整闭的;
iii)对每个极大理想是整闭的。
引理1 令C是A在B中的整闭包,表示在C中的扩理想,那么在B中的整闭包是的根(因此在加法和乘法之下是封闭的)。
命题4 令是整环,A是整闭的,在A的理想上整,那么在A的分式域K上代数,而且如果在K上的极小多项式是,那么位于中。
定理(“下降定理”)令是整环,A是整闭,B在A上整,令是A的素理想链, 是B的素理想链,使得,那么链可以扩充为链,使得。
命题5令A是一个整闭的
整环,K是它的分式域,L是K的一个有限可分代数扩张,B是A在L中的整闭包,那么存在L在K上的基,使得。
Dedekind环
称环A为Dedekind环是说A满足下面的条件(1)一(3)。
(1) A为Noether环;
(2) A为整闭整环;
(3) 除0以外的A的素理想(ideal)均为
极大理想。
这里我们来解释一下所用术语的意思。A为Noether环是说A满足下述条件(1)。
这个条件与下述(2)一(4)中任一个均等价。
(2) 设为A的理想的递增序列,则存在N使得
(3) 设为A的理想组成的非空集合,则存在属于的满足条件“如果且,则”.
(4) 有限生成A模的子模也是有限生成的。
称A为整环是说A为非零环,而且满足条件
对于,若则或或.
当A为环B的子环时,称B的元x在A上整是说x满足某个A系数方程
(,为自然数)
环B中所有在A上整的元全体{ | 在A上整}构成了B的子环,称之为A在B中的整闭包。当A为整环时,A在A的分式域中的整闭包被简单地称为A的
整闭包,当A与A的整闭包相同时,则说A为整闭。
称环A的理想为素理想是说,剩余环为整环,这个条件等价于满足下面的条件(1),(2)。
(1)若,则或或;
(2) 。
称A的理想为极大是说剩余环为域,这个条件等价于满足下面的条件(1),(2)。
(1)包含的A的理想只有A或是自己;
(2)。