在
数学中,斯通氏布尔代数表示定理声称所有
布尔代数都
同构于
集合域。这个定理是深入理解在二十世纪上半叶所拓展的
布尔代数的基础。这个定理首先由斯通氏(1936年)证明,并以他的姓氏命名。斯通氏通过他对
希尔伯特空间上的
算子的谱理论的研究而得出了它。
在
数学中,斯通氏布尔代数表示定理声称所有
布尔代数都
同构于
集合域。这个定理是深入理解在二十世纪上半叶所拓展的
布尔代数的基础。这个定理首先由斯通氏(1936年)证明,并以他的姓氏命名。斯通氏通过他对
希尔伯特空间上的
算子的谱理论的研究而得出了它。
斯通氏表示定理断言
布尔代数同构于如下形式的它的那些
超滤子的集合的所有
子集的代数,{U: b ∈ U} 对布尔代数的某个元素 b。
对非
布尔代数的其他特定代数结构也存在类似的定理。例如,所有群都同构于
变换群,这里的函数复合解释群乘积。
布尔代数 A 的斯通氏空间是在 A 上的所有二值同态的集合,带有这种同态的网
逐点收敛的拓扑。(构造 A 的斯通氏空间的可替代和等价的方式是作为 A 中所有
超滤子的集合,带有对每个 A 中的 a 的集合 {U:U是包含a的超滤子} 都是这个拓扑的基。我们使用了下面的同态方式。)
所有布尔代数都
同构与它的斯通氏空间的闭开(就是说同时是闭集和开集)
子集的代数。这个同构把任何 A 的元素 a 映射到把 a 映射到 1 的那些同态的集合。
所有完全不连通
紧致豪斯多夫空间都
同胚于所有它的闭开子集的布尔代数的斯通氏空间。这个同胚把每个点 x 映射到 2-值同态 φ,它依据 x∈S 或 x∉S 给出 φ(S)= 1或0。