新州悖论是政治术语。设有一个新的州加入了美利坚合众国（这在美国历史上发生过数十次），则总人口增加，相应地众议院席位也有所增加。

这时原来某个州失去了一个席位，而另一个州增加了一席，虽然原来所有州的人口都没有发生变化，这种情况被称为新州悖论。

1．由来

根据美国宪法，美国国会分参议院和众议院，参议院中各州有等额议席，而众议院“议员名额……将根据各州的人口比例分配”。这就是名额分配问题的缘起。美国宪法于1787年获得通过，1788年生效，但从1790年以来的200多年间，怎样操作才算公正、合理地按这一原则分配好名额，一直是美国政治家以及许多介人其中的科学家研究和争议的问题。人们创立了许多方法，但没有一种方法得到公认。

把这个问题数学化，则可作如下探讨：设美国一共有s个州，众议院一共设有h个议员席位。再设第i州有人口pi（i=1, 2,…, s），则全国总人口有P=p1+p2+…+ps，第i州的人口占全国总人口的比例为pi/P 。按上述宪法原则，第i州应有h*pi/P个议员名额，记为qi=h*pi/P，qi称之为第i州的“份额”，则显然有

q1+q2+…+qs=h。

但是一般地，qi不是整数，而议员名额却必须是整数。怎么办？这就是名额分配问题的症结所在。

用“四舍五入法”或“去尾法”或“进一法”对q‘取整数，都不行，因为这就会出现或者名额不够，或者名额剩余。

既然不能通过简单的对份额取整完成名额分配，问题就成为：在众议院席位数h，州数s，各州人口数pi（i=1, 2, 3,…, s）给定的条件下，求出各州的份额qi（i=1, 2,…, s）后，如何找出相应的一组整数a1，a2，…，as，使得

a1+a2+…+as=h，

让第i州取得a i（i=1, 2, 3,…, s）个议员名额，并且“尽可能地”满足美国宪法所规定的“按人口比例分配”的原则？这就是“名额分配问题”。从数学上说，稍加解释，小学生也可明白，但其求解却难倒了众多的政治家和数学家！

2．方法

美国第一任总统乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿首先于1790年提出了解决名额分配问题的一种方法，1792年被美国国会通过，称之为汉密尔顿方法。

这一方法规定如下操作程序：

（1）取各州的份额qi的整数部分[qi]（如qi=1.5，[qi]=1；qk=0.82，[qk]=0），先让第i州拥有[qi]个议员名额。

（2）再看各州份额qi的小数部分。按从大到小的顺序，把余下的议员名额逐个分配给各相应的州，分完为止。具体做法是：小数部分（qi一[qi]）最大的州优先取得余下名额中的一个，小数部分次大的州取得再余下的名额中的一个……直到名额分完为止。

汉密尔顿方法看起来是相当公正、合理的，但它于1792年被美国国会通过后并未能马上付诸实施。最先采用的是杰斐逊的方法。

杰斐逊方法是一种“除子方法”。在前面我们谈问题的缘起时指出，问题的关键是：虽然有q1+q2+…+qs=h，但对qi以某种方式取整[qi]后，[q1]+[q2]+…+[qs]就不一定等于h了。杰斐逊认识到qi只有相对的意义，而不具有绝对的意义，因而，用一个正数λ去除所有的qi，得到 ，用 代替原来的qi，其对相应的第i州来说表示“份额”的意义不变。这样如果选取适当的λ，使 在某种取整数的方法（如四舍五入法、去尾法、进一法等）下得到的整数[ ]加起来后恰好等于h，则可把ai=[ ]作为第i州应得的议员名额。由于用正数λ除后才得出名额的，所以叫做“除子方法”。如果用“去尾法”取得整数[ ]，就叫做杰斐逊法。

杰斐逊法也有令人不能接受的地方。那就是它不能符合所谓“公平分摊”的原则。这个原则是：按常理，对某一个非整数份额qi，它所取的名额数ai应满足[qi]＜ai＜[qi]+1（其中方括号仅表示用去尾法取整数）。但采用杰斐逊法，可产生“例外”，例如s=3，h=5，而q1=0.6， q2=0.5，q3=3.9，则显然有q3＜4，按“原则”，应有3＜a3＜4，但按杰斐逊法，取x=0.7，则有al=[ ]=0，a2=[ ]=0， a3=[ ]=5。

这种情况使美国国会在华盛顿总统否决汉密尔顿法50年后，重又接受了汉密尔顿法，并于1851年开始在美国实际使用。