方程回归是指根据样本资料通过回归分析所得到的反映一个变量（因变量）对另一个或一组变量（自变量）的回归关系的数学表达式。回归直线方程用得比较多，可以用最小二乘法求回归直线方程中的a、b，从而得到回归直线方程。

方程回归是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达方法。指具有相关的随机变量和固定变量之间关系的方程。回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据（x与y）间，一条最好地反映x与y之间的关系直线。离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述。

抛物面天线是一种定向微波天线，具有结构简单和方向性强等优点。抛物面天线由反射面和辐射器(发射或接收器)组成，反射面的几何形状必须精确符合设计的抛物面方程，辐射器的中心必须精确位于抛物面的焦点上，即抛物面工程结构物需要有很高的施工安装精度，测设的物抛物面上点位坐标的理论值应按设计的抛物面方程计算。而建成后的精度鉴定和变形监测则需要根据实测数据从总体上验证与设计数据的符合程度。对此必须用高精度电子全站仪测定抛物面上的离散点位，应用坐标变换和回归计算的方法求得抛物面方程的参数和拟合的抛物面形体。按照测量的一般原则，需要有大量的多余观测值。因此，回归计算必须用最小二乘法求取计算成果的最或然值。在此过程中，也可评定观测对象的精度和进行变形分析。

位于三维空间的离散点位必须经过坐标变换，才能量测其有关的数据和拟合其几何形体的标准数学模型。因此，求得坐标变换的参数是关键性的。测定离散点进行抛物面方程的回归计算需要经过下列步骤:抛物面口的平面方程回归、平面的法向量计算、坐标轴旋转、圆心拟合、坐标轴平移、标准状态下的抛物面方程回归、坐标轴平移和旋转(使抛物面形体与原始观测点拟合)。由于存在大量的多余观测，在按最小二乘法的平差计算中需要计算改正值，用于粗差检测和精度评定。

位于任意坐标系中的抛物面如图1所示，其中抛物面口的点所构成的平面用虚线表示。在抛物面上测定的点的三维坐标组成“观测点集“，是回归计算的原始数据。

抛物面口的平面方程回归计算

按照在抛物面口上测定的m1个点拟合出的平面方程式为

Ax+By+Cz+D=0(1)

将式(1)同除以D可得

A/Dx+B/Dy+D/Cz+1=0(2)

令A/D=A1，B/D=B1，D/C=C1(3)

则式(1)可改写为A1x+B1y+C1z+1=0(4)

对于在同一平面上的点进行多余观测(观测点数m1>3)，则每个测定点的坐标观测值(xi，yi，zi)可列出其误差方程式如下：

vi=A1xi+B1yi+C1zi+1，i=1，2，…，m1(5)

设误差方程式系数与近似值及其改正值的关系为

A1=A01+δA

B1=B01+δB

C1=A01+δC(6)

则vi=(A01+δA)xi+(B01+δB)yi+(C01+δC)zi+1(7)

vi=xiδA+yiδB+ziδC+(A01xi+B01yi+C01zi+1)(8)

式中：δA，δB，δC为误差方程式中未知参数，式(8)右端括号内数值为常数项li。根据m1个平面观测点的误差方程式组成法方程式，可解得未知数δA，δB，δC，由此求得平面方程式(4)的系数A1，B1，C1。

计算实例

抛物面回归计算的成果除了数据以外，还应该包括抛物面的图形绘制。在CAD中用LISP语言编制应用程序，能理想地完成计算与绘图任务。因为LISP语言具有完备的计算功能，可以完成上述各种计算，并能调用CAD绘图命令进行绘图。但AutuCAD应用软件尚缺少直接绘制抛物面的命令，因此需要采用以下绘图步骤：从抛物面方程来看，当x=0时，z=ay2+b，说明抛物面与YOZ平面的相交线为一条抛物线；当y=0时，z=ax2+b，说明抛物面与XOZ平面的相交线为具有相同参数的抛物线。因此，在XOZ平面或YOZ平面按抛物线方程绘制一定数量的等间距离散点，用样条曲线连接这些点绘制成抛物线，然后使其绕Z轴旋转而形成抛物面图形。这个抛物面拟合于“中心标准状态点集”，如图2所示。计算焦距f，并绘制焦点F。然后用复制命令(copy)复制抛物面及其中心轴和焦点，再用坐标变换方法(平移和旋转)，将抛物面图形及其中心轴和焦点拟合于原始的“观测点集”，如图1所示，使观测对象在三维空间的实际位置可视化。所有计算和绘图任务按本文所提供的数学公式和方法，编制LISP程序在CAD中实现，最后以文件形式提供回归计算的数据和图形成果。

用高精度的无协作目标电子全站仪NET1200对某抛物面天线进行测量，采用独立坐标系统观测了抛物面口上11个点和抛物面上29个点(共观测40点)的三维坐标。先用抛物面口上11个点拟合出平面方程式;根据平面的法向量姿态(方位角和天顶距)进行坐标变换，使法向量与坐标轴的Z轴平行(抛物面口呈水平状态)，然后再根据这11个点在平面上拟合出抛物面口的圆心点坐标;将坐标原点平移至该圆心点;根据所观测的40个点，在标准状态下按抛物面进行回归计算，由此得到抛物面方程式：

Z=0.200728(X2+Y2)-1.01841

由此得到抛物面口圆半径R=2.2530m，抛物面焦距f=1.2455m。回归计算的精度为：平面拟合的单位权中误差m01=±1.67mm，抛物面拟合的单位权中误差m0=±4.36mm。观测与计算结果与实际情况相符合。

研究结论

研究采用测定离散点进行抛物面方程回归计算，其理论和方法为通过抛物面口的平面方程回归、平面的法向量计算、坐标变换、圆心拟合、坐标轴平移、在标准状态下的抛物面方程回归等一系列数学运算，得到符合客观实体的高精度的抛物面方程及其焦点的空间位置。实践证明其能满足抛物面结构物的施工安装、精度检验和变形监测等的需要。

直升机在研制和使用的过程中需要对结构部件进行载荷标定试验，建立输入载荷与应变电桥之间的定量关系，即载荷标定方程。将载荷标定方程应用在直升机使用中实测到的应变值上，可将应变时间历程转换为载荷时间历程。这是进行结构设计定型、疲劳定寿的前提。

由于结构件在正常受载时，其应力在弹性范围内．因此可用多元线性回归方法得到载荷标定方程。在多元回归分析中，自变量的选择是最重要的问题。如果遗漏了重要的变量，或者将不显著的变量也选入方程，会降低了载荷标定方程的精度。如何优选出应变参数组合，是准确获得载荷标定方程最为重要的问题。

研究采用逐步回归分析法选取自变量，其基本思想是按自变量与因变量影响程度的大小，逐个地由大到小将自变量引入回归方程。而每引入一个自变量，都要对方程中的各个自变量做显著性检验。检验时先选偏回归平方和最小的自变量进行检验，若为显著，余者皆为显著;若检验差异不显著，即从方程中剔出，直至留在方程中的自变量均检验为显著后，再引入另一个与因变量影响最大的变量，并进行显著性检验。如此反复，直到没有自变量可再引入，从而得到最优自变量子集，以此得到精度高的载荷标定方程。经验证，这种选取自变量的方法是客观可靠的。

直升机载荷校准试验的目的是建立起部件载荷与应变之间的关系模型，即载荷标定方程，这是直升机载荷飞行实测的关键环节，载荷方程的建立与优化直接决定了直升机载荷部件实测的精度。

载荷标定试验记录的原始数据由两部分组成：①载荷向量y为一个n维的向量，n为标定试验中记录数据的次数；②应变参数矩阵x为一个n×m的矩阵，m为应变参数的个数。按照国军标的要求，直升机在正常使用时，结构件受载应力应在弹性范围内，根据力的叠加原理，标定方程可表示为

y=b1x1+b2x2+…+bmxm(1)

式(1)中x1，x2，…，xm为各实测应变参数值；b1，b2，…，bm为对应于各实测应变参数的真实系数；y为实测载荷参数值。载荷标定方程是一个多元线性方程，可用多元线性回归的方法处理载荷标定试验数据。

在进行应变改装前，通常主要依据被测载荷与结构件的受力分析来确定应变片的粘贴位置。由于结构件形式复杂多样，在大多数的情况下，某个电桥的输出不仅只对单一方向的载荷敏感，而可能对其他载荷都有输出，但相应的灵敏度载荷是不一样的。有的电桥在这种载荷作用下输出很大，而在其他两向载荷作用下输出很小。因而需要将重要的变量选入方程，将不显著的变量剔除，提高载荷标定方程的精度。采用逐步回归的选元方法可以有效提高载荷标定方程的精度。

选取一段某型直升机武器挂梁标定试验的数据。其中，y为挂梁垂向载荷参数，在回归时y作为因变量，x为挂梁各实测应变参数，根据理论分析和对试验数据的观察结果，从挂梁上改装的12个应变参数中选取与载荷参数线性相关性较好的6个因变量作为回归自变量。为了验证载荷标定方程的准确性，在标定试验之后进行了验证加载，方法是采用静态应变仪测量出武器挂梁实际载荷下各通道的应变值，代入采用多元回归方法得到的载荷方程，得出计算值，通过计算值与实际加载值对比得出相对误差。

表1给出了x1～x6所有可能的组合情况分别进行回归处理，计算各种组合情况下的相对误差值。对表1中的数据进行逐步线性多元回归处理，结果如式所示：

y=0.2258x1+0.0102x2+0.3765x6

从表1中数据比较可以看出，利用逐步多元回归方法处理载荷-应变线性多元回归问题时，得出载荷标定方程的相对误差值小于用多元回归法得到所有可能的组合情况的相对误差值，说明该方法选出的应变参数组合是最佳的。

载荷标定方程自变量的选取很重要，直接影响着方程的精度，如果方程不准确，后续的载荷疲劳试验及载荷飞行试验数据也是不准确的，采用逐步多元回归的方法对变量进行选取。利用实测武器挂梁数据，通过本研究方法进行了处理，然后通过用多元回归分析处理的所有可能的自变量组合进行了误差对比分析，对方法进行了验证。最后将该方法应用到起落架载荷标定试验中，并且通过预计载荷与实际加载载荷验证检验了方程的精度。结果表明，该方法处理载荷-应变线性多元回归问题时，可得到较高精度的载荷标定方程。