无界函数_数学函数 - 线报百科mbji.cn

无界函数

数学函数

无界函数即不是有界函数的函数。也就是说，函数y=f(x)在定义域上只有上界(或只有下界)；或者既没有上界又没有下界，称f(x)在定义域上无界，在定义域无界的函数称为无界函数。

定义

定义1 设函数的定义域为D，若存在一个常数M(L)，使得，都有

则称为D内有上(下)界的函数，数M(L)称为在D内的一个上(下)界。

定义2 设函数若存在一个正数K>0，使得，都有

则称在D内是有界函数；否则，称为无界函数。

有界函数的等价定义是：若在D内既有上界又有下界，则称在D内是有界函数。

在D内有界当且仅当数集是有界集，即

其中M，L为常数，分别称为的一个上界和一个下界。

无界的正面描述是：

是无界函数当且仅当，使得。

有界函数的几何意义：

若函数为有界函数，则的图像

完全落在直线y=M和y=-M之间。

注意：函数的有界性与函数自变量x的取值范围有关，如：y=x，在R内无界，但在任何有限区间内都有界。

举例说明

有界函数的图形必介于两条平行于x轴的直线y=-M和y=M之间（当自变量为x时），笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指明所考虑的区间。

例如，函数在内是有界的，因为对任意，存在M=1，使得恒成立。

函数在开区间上是无界的。

函数在开区间(0，1)内是无界的，而函数在区间[1，2]内是有界的。

函数是有界函数，因为在其定义域内恒有。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:45

条目作者

概述

定义

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