无穷递缩等比数列(infinite shrink geometric progression)是一种重要的等比数列，即公比q满足|q|<1的无穷等比数列{an}。无穷递缩等比数列及其它无穷数列的求和问题，主要用到数列求和方法、等比数列的求和公式、数列极限等知识。

若一个等比数列{an}有无穷多项，并且它的公比q满足|q|<1，则称{an}为无穷递缩等比数列。

设无穷递缩等比数列{an}的前n项和为S，则 叫作这个无穷递缩等比数列 时的和，并且

证明设无穷递缩等比数列{an}当时的前n项和为S，根据前n项和公式

令 ，则

注意到|q|<1，则

故

此证明过程用到了极限思想，极限思想是数学史上一颗璀璨明珠，它既是整个微积分的基础，又在实际生活中有着重要的应用，刘徽的割圆术是极限应用的辉煌范例之一。

例如，把纯循环小数 化为分数，因为 ，可以看做是求首项为12/100，公比为q=1/100的无穷等比数列的各项和，所以

【例1】连续计息时终值与现值的计算。

解 设P为本金(现值)，r为年利率。

如果一年计息一次，那么n年末本利和为；

如果一年计息两次(即每半年计息一次)，每次利率为r/2，则n年总共计息2n次，本利和为：；

类似地，如果一年计息m次，则n年总共计息mn次，本利和为。

如果连续复利计息(随时计算利息，一年计算无穷多次利息)，那么n年末本利和就是当时，的极限，即

即年利率为r连续计息时现值P到n年末的终值为Pern；反之，n年末的终值Pn的现值为。

【例2】由实验知，某种细菌繁殖的速度在正常条件下与现有的细菌数量A0成正比，即V=kA0(k>o)，问经过时间t以后细菌的数量是多少?

解 为了计算出t时刻细菌的数量，可将时间间隔[0,t]分成n等份，由于细菌的繁殖是连续变化的，在很短的时间内细菌的数量变化很小，其繁殖速度可近似看作不变，因此，在第一段时间[0,t/n]内细菌繁殖的数量为，第一段时间末细菌的数量为；同样，第二段时间末的细菌数量为；以此类推，到最后一段时间末细菌的数量为。

显然，这是一个近似值，可以看出，当时间间隔分得越小(即n越大)时，这个值越接近精确值，若对时间间隔无限细分(即)，则可求其精确值。所以经过时间t后细菌的总数是