设V是数域P上的一个向量空间，若存在V的有限个向量α1，α2，...，αm使得V的每一个向量均为这m个向量的线性组合，则V称为数域P上的一个有限维向量空间，这时α1，α2，...，αm称为V在P上的一组生成元，记作V=(α1，α2，...，αm)，否则，V称为无限维向量空间。将只含有零向量的向量空间称为零空间，一个零空间是有限维向量空间。

设V是域P上的一个向量空间，若存在V的有限个向量使得V的每一个向量均为这m个向量的线性组合，则V称为域P上的一个有限维向量空间，这时称为V在P上的一组生成元，记作否则，V称为无限维向量空间。

将只含有零向量的向量空间称为零空间，一个零空间是有限维向量空间。

定义1 向量组的极大线性无关部分组所含向量的个数，称为该向量组的秩。

命题1 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相等。

命题2 等价的向量组，其秩相等。

定义2数域P上向量空间V的一组线性无关的生成元，称为向量空间V在P上的一个基底。

由定义知道，有基底的向量空间一定是有限维向量空间，反之是否正确呢?我们知道，零空间是一个有限维向量空间，但没有基底，这个向量空间太特殊了。现在要问，不是零空间的有限维向量空间是否均有基底呢?请看下面的定理。

定理1数域P上任意非零有限维向量空间必有基底。

定理2设是向量空间V的一个基底，又也是V的一个基底，则。

定义3 非零有限维向量空间V的任一个基底所含向量的个数称为V的维数。复数域C，如果看作是以自己为基域的向量空间，则它是一维的，数1就是它的一个基底；如果看作实数域R上的向量空间，则它是二维的数1和就是它的一个基底，此例说明，维数与所考虑的基域有关。

由于零空间显然没有基底，所以对于这种空间不能应用

定义4 零空间的维数是零。

定义5(基底的另一种定义)如果数域P上的向量空间V中有n个线性无关的向量，且V中每一个向量均可由它们线性表示，那么称为V的一个基底。

定理3 设V是数域P上的n维向量空间，则V中任意个向量必线性相关。

定理4 设V是数域P上的一个n维向量空间，则V中任意n个线性无关的向量组均组成V的一个基底。

若为域上有限维向量空间，则上任何两个范数等价。