在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(α)的形式，即E可以由单个元素生成。

在数学中，本原元定理深刻刻画了什麼时候对于一个域扩张 ，E可以表示为 的形式，即E可以由单个元素生成。一个有限扩张 有本原元，即存在α使得 ，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

如果F是有限域，由于E/F是有限扩张，推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

如果F是无限域，但是只有有限个中间域。 先证明一个引理：假设E=F(α，β)并且E和F之间只有有限个中间域，那么存在一个γ∈E使得E=F(γ)。引理的证明如下：当c取遍F的时候，对于每一个c可以做一个中间域F(α+cβ)。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在 ∈F， 使得F(α+ β)=F(α+ β)。由于α+ β，α+ β都在这个域里，推得( - )β也在这个域里。由于 ，推得β在这个域里，于是α也在这个域里，因此E=F(α，β)是F(α+ β)的子集，F(α+ β)是F(α，β)的子集，于是E=F(α+ β)。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的，推得 （对于 ）。利用归纳法以及引理可以得出，如果E/F之间只有有限个中间域，那么E可以由单个元素生成。

而如果E=F(α)，假设f(x)=irr(α，F，x)是α在F上的极小多项式，K是任意一个中间域，gK(x)=irr(α，K，x)是α在K上的极小多项式。显然gK(x)整除f(x)，由于域上的多项式环是唯一分解环，f(x)只有有限个因子。而对于每一个gK(x)整除f(x)，如果gK(x)写作gK(x)= ，并令K0=F( )。显然K0是K的一个子域，因此gK(x)在K0上依然是不可约的。而同时E=F(α)=K(α)=K0(α)，因此可以得到[E：K]=[E：K0]= ，这样立即推K0=K，于是任何一个中间域K对应唯一的一个f(x)的因子gK。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。

证毕。

由于有限可分扩张只有有限个中间域，由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元。

模19下7的阶为3（ , ,,....）

模n下a的阶，a就是n的本原元，如3是19的本原元，本原元并不唯一（19本原元还有2，3，10，13，14，15），不是所有的整数都有本原元，应是这样的形式：2,3,,(p为奇素数) 。