群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

本原群(primitive group)是指传递置换群的一个子类。集合Ω上的传递置换群G，若没有非平凡完全区系，则称G为Ω上的本原群。否则，即G具有非平凡完全区系，就称G为非本原群。例如，Ω={1，2，3，4，5，6}而G由元素g生成，其中g=(1，2，3，4，5，6)，那么{1，4}，{2，5}，{3，6}是G的一个非平凡的完全区系，同样{1，3，5}，{2，4，6}也是G的非平凡的完全区系。因此G是非本原群。由这个例子还可以看出，在G为非本原群时，G可能有不止一个非平凡的完全区系。G在Ω上是本原的当且仅当对Ω中的任何两个不同的点α，β和Ω的任一非空真子集Δ，都有G中一个元素g，使α∈Δ而βΔ.G在Ω上是本原群的另一个充分必要条件是，对任何α∈Ω，Gα是G的极大子群。关于本原群的研究是置换群论的最重要的内容。其中值得一提的工作是人们已经给出了次数≤50的全部本原群的一览表，又借助于有限单群分类定理，决定了全部素数p次置换群、双传递群、秩3本原群，以及某种类型的奇数次本原群。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G.若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

极大子群是一种重要的子群。即在包含的意义下极大的真子群。它是群G的真子群H，且G与H之间无G的其他真子群。若H是群G的真子群，并且，对于G的真子群K，由H≤K得出K=H，则称H是G的极大子群。

置换群是指由置换组成的群。n元集合Ω={a1，a2，…，an}到它自身的一个一一映射，称为Ω上的一个置换或n元置换。

有限群在其形成时期几乎完全在置换群的形式下进行研究，拉格朗日和鲁菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的关于方程可解性的著作里，引进了n个根的一些函数进行研究，开创了置换群的子群的研究，得到“子群的阶整除群的阶”这一重要结果。鲁菲尼在1799年的专著《方程的一般理论》中，对置换群进行了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概念。在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西发表了关于置换群的重要文章(1815)。他以方程论为背景，证明了不存在n个字母(n次)的群，使得它对n个字母的整个对称群的指数小于不超过n的最大素数，除非这个指数是2或1。伽罗瓦对置换群的理论做出了最重要的贡献，他引进了正规子群、两个群同构、单群与合成群等概念，发展了置换群的理论。可惜他的工作没有及时为数学界所了解。柯西在1844—1846年间，写了一大批文章全力研究置换群。他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限(置换)群，如果它的阶可被一个素数p除尽，就必定至少包含一个p阶子群。他还研究了n个字母的函数在字母交换下所能取的形式值(即非数字值)，并找出一个函数，使其取给定数目的值。

置换群的理论(主要指伽罗瓦的工作)在1870年由若尔当整理在他的《置换与代数方程》之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。

传递群有更强的传递性质的置换群.设k是一个自然数，而G是Ω上的一个置换群，且|Ω|≥k。若对Ω的任意两个有序k元子集{α1，α2，…，αk}和{β1，β2，…，βk}，都可找到一个元素g∈G，使得α1=β1，α2=β2，…，αk=βk，则称G在Ω上是k重传递的；或简单地称，G在Ω上是k传递的。由这个定义，1重传递群就是通常所称的传递群，2重传递群称为双传递群。一般地，若k≥1，一切k+1重传递群都是k重传递群。Sn是惟一的n次n重传递群，而An是n次的n-2重传递群。还可推出：当k≥2时，G在Ω上是k重传递的当且仅当G在Ω上是传递的并且对任意α∈Ω，稳定子群Gαn和An外，人们从未发现任何一个6重传递群，而4重传递群只知道有4个，马蒂厄群M11，M12，M23，M24，其中M12，M24是5重传递的。利用有限单群分类定理，已经决定出全部的2重传递群。由此也证实了上述四个马蒂厄群是An，Sn以外的全部4重传递群。