极值图论研究图的整体参数（如边密度或着色数）对局部结构的影响。例如对于给定的整数r，有多少条边可以保证n个顶点的图无论边怎么放置都必须包含一个K(r)完全子图，多少条边可以保证某种子结构出现。

极值图论是数学的一个分支，研究图的全局特性如何影响局部子结构。它包含了大量的结果，这些结果描述了某些图属性- 例如顶点数（大小）、边数、边密度、色数和周长- 保证某些局部子结构的存在。

图论这一领域的主要研究对象之一是极值图，它们相对于某些全局参数是最大或最小的，并且它们包含（或不包含）局部子结构——例如团，或边缘着色等。

曼特尔定理 Mantel's Theorem （1907 年）和图兰定理 Turán's Theorem （1941 年）是极值图论研究的第一个里程碑。特别是，Turán 的定理后来成为发现Erdős-Stone-Simonovits 定理(1946)等结果的前提。

曼特尔定理

在不存在三边回路的n顶点图中，边数最大为 换句话说，必须删除K_n中几乎一半的边才能获得无三角图。证明如下：

设A为n个点中，向外连线最多的点，设它向外连k条线，则与A相连的点之间不允许连线

而剩余(n-1-k)中的任意一点不可能向外连线数大于k，设这些点连线总数为y，则有

当时，y是整数，所以y的最大值为

所以

Turán's 定理

令G为具有n个顶点的任何图，使得G为K_(r+1)-free。 那么G中的边数最多为

曼特尔定理可看作Turán's定理的特殊情况

等效表达如下：

在没有(r+1)点团的n个顶点的简单图中，T(n,r)的边数最大。

Erdős–Stone 定理

它可视为对Turán 定理加强来限制非完全图H的无H图中的边数。Paul Erdős和Arthur Stone 在 1946 年证明了该定理，并称为极值图论的基本定理。

固定一个图H, ex(n, H)表示满足G⊉H的图的最大的边数，则有